Betrachtet wird die Schar der Funktionen mit und maximaler Definitionsmenge .
Die Funktion aus Aufgabe 1 ist eine Funktion dieser Schar. Geben Sie die zugehörigen Werte von und an. (1P)
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Die Funktion aus Aufgabe 1 hat den Funktionsterm
Die Funktionenschar hat den Funktionsterm
Begründen Sie: Wenn und gilt, dann ist der Graph von symmetrisch bezüglich der y-Achse und schneidet die x-Achse nicht. (2P)
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Der Graph von ist symmetrisch zur Achse, denn der Zähler ist als Konstante symmetrisch zur Achse und der Nenner ist als ganzrationale Funktion mit nur geraden Hochzahlen symmetrisch zur Achse.
Und somit ist der Quotient aus dem zur Achse symmetrischen Zähler und Nenner symmetrisch zur Achse.
Oder wahr.
Die Funktion schneidet die x-Achse nicht, da der Zähler wegen nicht werden kann.
Geben Sie für und alle Werte an, sodass sowohl gilt als auch, dass der Graph von symmetrisch bezüglich des Koordinatenursprungs, aber nicht identisch mit der x-Achse ist. (3P)
Für die erste Ableitung von gilt: .
Zeigen Sie: Wenn und gilt, dann besitzt der Graph von genau zwei Extrempunkte. (4P)
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Der Graph hat genau zwei Extrempunkte, wenn zwei Nullstellen mit Vorzeichenwechsel hat.
Das Vorzeichen von wird vom Zählerterm von bestimmt, da der Nennerterm als Quadrat positiv ist.
Da vorausgesetzt ist, wird der Zählerterm durch eine Parabel graphisch dargestellt. Wenn der Zählerterm zwei verschiedene Nullstellen hat, so gibt es genau zwei Extrempunkte.
Da vorausgesetzt wurde ist die Summe und es gibt zwei verschiedene Nullstellen von :
und .
Damit hat genau zwei Extrempunkte.