Gegeben ist die in \{} definierte Funktion . Der Graph von wird mit bezeichnet und ist symmetrisch bezüglich des Koordinatenursprungs.
Geben Sie die Gleichungen aller senkrechten Asymptoten von an. Begründen Sie, dass die x-Achse als waagrechte Asymptote besitzt. (3P)
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Die vorgelegte Funktion ist eine echt gebrochen rationale Funktion mit dem Nenner . Die Nullstellen des Nenners sind . Da der Zähler hier keine Nullstellen hat, liegen Polstellen vor.
Somit lauten die Gleichungen der senkrechten Asymtoten:
und .
Der Zählergrad der gebrochen rationalen Funktion ist und der Nennergrad ist Somit ist die Achse waagerechte Asymptote.
Oder ausführlicher:
Bestimmen Sie das jeweilige Monotonieverhalten von in den drei Teilintervallen
, und der Definitionsmenge. Berechnen Sie zudem die Steigung der Tangente an im Punkt . (5P)
(zur Kontrolle: )
Die Punkte und liegen auf ; zwischen diesen beiden Punkten verläuft unterhalb der Strecke .
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Das Monotonieverhalten wird mittels des Vorzeichens der 1. Ableitung bestimmt.
Also gilt für alle .
Somit ist f streng monoton fallend in , sowie in und .
Skizzieren Sie im Bereich unter Verwendung der bisherigen Informationen in einem Koordinatensystem. (4P)
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Berechnen Sie den Inhalt der Fläche, die von und der Strecke eingeschlossen wird. (5P)
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Die Punkte und liegen auf dem Graph von Die Koordinaten der Punkte sind und .
Es war angegeben: und .
Es werden zwei Varianten der Lösung angegeben.
Variante 1:
Man berechnet die Maßzahl der Fläche zwischen der Strecke und dem Graph im Intervall [3;8].
Bestimmung der Gleichung der Geraden durch die Punkte und
Eine Geradengleichung hat die Form , wobei die Steigung der Geraden ist und der Achsenabschnitt.
Die Steigung ermittelt man mit Hilfe des Steigungsdreiecks.
Damit gilt:
Der Punkt liegt auf der Geraden:
Variante 2:
Man betrachtet die Skizze des Graphen von mit der Strecke .
Man erkennt, dass die Fläche zwischen der Strecke und dem Intervall ein Viereck ist, das man in ein Rechteck und Dreieck zelegen kann.
Somit ist der Inhalt dieses Vierecks leicht zu berechnen.
Die Maßzahl der Fläche zwischen dem Graphen von und dem intervall wird mit Hilfe der logarithmischen Integration berechnet.
An der Skizze liest man ab, dass der Inhalt des Rechteckes gerade und der Inhalt des Dreiecks gerade .
Zusammen ist der Inhalt des Viereckes gerade
Berechnung der Maßzahl der Fläche zwischen und dem Intervall :
Insgesamt ergibt sich für die Maßzahl der Fläche zwischen der Strecke und der Wert
Meiner Meinung nach liegen die Rechenvorteile der Variante 2 auf der Hand.
