Gegeben sind die in definierte Funktion mit sowie die Punkte für . Die Abbildung zeigt den Graphen von sowie die Punkte und .
Berechnen Sie für die Steigung der Gerade durch die Punkte und in Abhängigkeit von an. (2P)
(zur Kontrolle: )
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Man bestimmt die Steigung der Geraden durch die Punkte und mit Hilfe des Steigungsdreiecks.
Die Tangente an den Graphen von im Punkt wird mit bezeichnet. Bestimmen Sie rechnerisch denjenigen Wert von , für den durch verläuft. (3P)
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Man stellt zuerst die Tangentengleichung der Tangente an den Graphen von im Punkt auf. Die Steigung berechnet sich als 1. Ableitung von an der Stelle .
Damit hat die gesuchte Tangente die Gleichung:
, wobei der y-Achsenabschnitt bedeutet.
Da der Punkt auf der Tangente liegen soll, muss gelten:
Somit:
Der Punkt soll auf der Tangente liegen.
Also