Wir betrachten im Folgenden zwei verschiedene Funktionen
Gegeben ist die Funktion mit maximaler Definitionsmenge . Geben Sie und alle Nullstellen von an. (3P)
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Der Funktionsterm von ist ein Produkt aus zwei Faktoren.
Der erste Faktor ist für alle reellen Zahlen definiert.
Der zweite Faktor ist für definiert.
Also ist
Die möglichen Nullstellen liegen an den Nullstellen der Faktoren.
Dabei muss man beachten, dass nicht im Definitionsbereich liegt.
Also: .
Gegeben ist die in definierte Funktion . Begründen Sie, dass die Wertemenge von das Intervall ist. (3P)
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Die vorgelegte Funktion ist eine verkettete Funktion. Da die Funktion nur für positive Argumente definiert ist, muss der Quotient sein. Dies ist gesichert, da Zähler und Nenner positiv sind.
Mit der Logarithmenregel ergibt sich:
Der Argumentterm hat als Wertebereich .
Damit gilt: . Außerdem ist
Damit gilt für den Wertebereich der Funktion .