Gegeben ist die in definierte Funktion mit . Zeigen Sie, dass umkehrbar ist, und ermitteln Sie einen Term der Umkehrfunktion von . (4P)
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Lösung
Strategie
Es ist hier eine verkettete Funktion vorgelegt. Die äußere Funktion ist die -Funktion und die innere Funktion ist .
Man muss die Ableitungsregel für verkettete Funktionen anwenden können.
Differenzierbare Funktionen sind umkehrbar, wenn sie streng monoton sind
Schritte
Die gegebene Funktion ist stetig und differenzierbar. Eine differenzierbare Funktion ist umkehrbar, wenn sie streng monoton ist.
Da der Term der 1. Ableitung ein Produkt ist mit den positiven Faktoren , ist .
Also ist die gegebene Funktion streng monoton wachsend.
Bestimmung des Term der Umkehrfunktion:
Umkehrfunktion: