Man verwendet die Hypergeometrische Verteilung, wenn das Zufallsexperiment auf ein Urnenmodell mit folgenden Eigenschaften zurückgeführt werden kann:
- N Kugeln in der UrneM Kugeln einer ersten FarbeN-M restliche Kugeln einer zweiten Farbe
- n mal ziehen
- ohne Zurücklegen
- ohne Beachtung der Reihenfolge
Die Wahrscheinlichkeit genau k Kugeln der ersten Farbe zu ziehen berechnet sich mit:
- ist die Gesamtzahl der Möglichkeiten beim n-maligen ziehen
- ist die Zahl der Möglichkeiten die Kugeln der ersten Farbe zu ziehen
- ist die Zahl der Möglichkeiten die Kugeln der zweiten Farbe zu ziehen
Beispiel
"Ziehen eines Vierers" beim Lotto 6 aus 49.
- da aus 49 Kugeln gezogen wird
- da 6 Kugeln gezogen werden
- ohne Zurücklegen (jede Zahl kann nur einmal gezogen werden)
- ohne Beachtung der Reihenfolge (für einen Vierer spielt es keine Rolle, welche Zahl zuerst gezogen wird)
- sind die "Richtigen" Zahlen
- da genau vier Richtige gesucht sind
Verallgemeinerung
Wenn in der Urne nicht nur Kugeln zweier Farben enthalten sind, sondern dreier Farben, dann verändert sich die Formel zur Berechnung von:
A: aus roten, aus blauen, aus grünen
zu:
Die Denkweise ist folgende:
- "Aus Kugeln der ersten Farbe werden gezogen"
- "Aus Kugeln der ersten Farbe werden gezogen"
- "Aus Kugeln der ersten Farbe werden gezogen"
- ...
- und das ganze durch eine Ziehung von insgesamt dividiert
Bei noch mehr verschiedenen Farben erweitert sich die Formel entsprechend.
Beispiel
Quelle: Wikimedia.org
Aus einer Urne mit vier roten, drei blauen und zwei Grünen Kugeln sollen sechs Kugeln ohne zurücklegen gezogen werden. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit von "Es werden alle grünen, drei rote und eine blaue Kugeln gezogen" (Ereignis A)?