Aufgaben mit nichtrationalen Funktionen
Bestimme eine Exponentialfunktion der Form welche durch die Punkte und geht.
Lösung anzeigen
Setze die gegebenen Punkte in die Funktionsgleichung ein:
und löse das Gleichungssystem.
Die erste Zeile kann man nach b auflösen:
und in die zweite Zeile einsetzen:
Umformung: Umformen
(Klammern weglassen)
Umformung: Umformen
Umschreiben der Potenzen
Umformung: -4
Umformung: \cdot a_{ }
Umformung: +a^2-1
{}Diese Gleichung kann man nun mit der Mitternachtsformel lösen:
(negative Basen entfallen bei Exponentialfunktionen)
Die Lösung kann man nun in die erste Funktionsgleichung einsetzen:
und erhält
Die gesuchte Funktionsgleichung ist dann also
Gesucht ist eine Funktion der Form . Die Funktion geht durch den Punkt . Ermittle die Funktionsgleichung.
Lösung anzeigen
Setze für x und y die gegebenen Werte des Punktes ein und löse nach a auf:
Das kann man nach der Definition des Logarithmus umschreiben zu:
Den rationalen Expoenten kann man umschreiben zu:
ist das Gleiche wie
Nach dem dritten Potenzgesetz kann man das wiederum schreiben als:
oder als:
quadrieren
dritte Wurzel ziehen
Damit ist die gesuchte Basis gefunden und die Lösung ist