Das Baumdiagramm gehört zu einem Zufallsexperiment mit den Ereignissen und .
Berechnen Sie . (1 BE)
Lösung anzeigen
Für die richtige Lösung dieser Aufgabe muss man die beiden Pfadregeln für Wahrscheinlichkeiten kennen: Die sogenannte Produktregel für die Wahrscheinlichkeit entlang eines Pfades und die Summenregel für Ereignisse, die sich aus mehreren Pfaden zusammensetzen.
Die Wahrscheinlichkeit für das Gegenereignis setzt sich aus zwei Zweigen zusammen: , wobei keiner der beiden Summanden direkt gegeben ist. Allerdings lassen sich dem Baumdiagramm die beiden Werte und entnehmen, die in der Summe gerade ergeben.
Über das Gegenereignis erhält man somit .
Weisen Sie nach, dass die Ereignisse und abhängig sind. (2 BE)
Lösung anzeigen
Stochastische Unabhängigkeit der Ereignisse und wird rechnerisch nachgewiesen, indem die Gleichheit von und gezeigt wird:
Hierzu fehlt noch .
Dazu wird die Produktregel auf den 1. Pfad angewandt:
Für das Produkt ergibt sich also: während andererseits . Aus der Ungleichheit der beiden Ergebnisse folgt die (stochastische) Abhängigkeit der beiden Ereignisse und .
Von den im Baumdiagramm angegebenen Zahlenwerten soll nur der Wert so geändert werden, dass die Ereignisse und unabhängig sind. Bestimmen Sie den geänderten Wert. (2 BE)
Lösung anzeigen
Für das Schnittmengenereignis gibt es wegen der Forderung nach stochastischer Unabhängigkeit nun zwei Berechnungsansätze:
Aus dem Vergleich ergibt sich:
Wie in Teilaufgabe a) schon erläutert, setzt sich aus zwei Zweigen zusammen. Dabei ist nun die Wahrscheinlichkeit des Zweiges , die an die Stelle von tritt.
Anstelle des Werts ist also der Wert zu wählen!