Die Vektoren , und spannen für jeden Wert von einen Körper auf. Die Abbildung zeigt den Sachverhalt beispielhaft für einen Wert von .
Zeigen Sie, dass die aufgespannten Körper Quader sind. (2 BE)
Lösung anzeigen
Zum Thema senkrecht sollten Dir zwei Dinge einfallen: Skalarprodukt und Vektorprodukt!
Lösungsmöglichkeit 1
Die Vektoren stehen aufeinander senkrecht, wenn deren Skalarprodukt ist. Zeige also mit dem Skalarprodukt, dass
- ,
- und
zu 1.
zu 2.
zu 3.
Weil alle Vektoren aufeinander senkrecht stehen, ist der obige Körper ein Quader.
Lösungsmöglichkeit 2
Bestimme wie in Lösungsmöglichkeit 1
- das Skalarprodukt von und und zeige, dass die beiden Vektoren aufeinander senkrecht stehen.
- Berechne danach das Vektorprodukt von und und zeige, dass der berechnete Vektor ein Vielfaches von ist .
(wie oben gezeigt)
Der Ergebnisvektor ist bis auf ein Vielfaches gleich dem Vektor , also handelt es sich bei dem zu untersuchenden Körper um einen Quader!
Bestimmen Sie diejenigen Werte von , für die der jeweils zugehörige Quader das Volumen 15 besitzt. (3BE)
Lösung anzeigen
- Lösungsmöglichkeit 1: Spatprodukt als Formel für das Volumen eines Quaders
- Lösungsmöglichkeit 2: Multiplikation der Längen der Vektoren
Lösungsmöglichkeit 1: Das Spatprodukt
Da der Körper ein Quader ist, beschreibt der Betrag des Spatproduktes sein Volumen. Das setzt man mit gleich und löst nach auf:
Kreuzprodukt bilden
Skalarprodukt berechnen
Umformung: : (-45)
Das Volumen ist der Betrag des Spatprodukts:
Das gesuchte Volumen wird damit verglichen:
Das gesuchte Volumen erhält man also für oder .
Lösungsmöglichkeit 2: Länge der Vektoren
Da es sich um einen Quader handelt, kann man auch die Längen der Vektoren, also der Kanten des Quaders berechnen und sie miteinander multiplizieren.
Die Wurzel eines Quadrats ist der Betrag
Jetzt multipliziert man die Längen der Vektoren, setzt sie mit gleich und löst nach auf.
Umformung: /3
Wir erhalten wieder .