Gegeben sind die Punkte , , .
Berechne alle Seitenlängen des Dreiecks
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Für die Seitenlängen des Dreiecks berechnest Du die Vektoren zwischen den gegebenen Punkten und ermittelst dann den Betrag dieser Vektoren.
Für die Seitenlängen des Dreiecks berechnest Du die Vektoren zwischen den gegebenen Punkten und ermittelst dann den Betrag dieser Vektoren.
Für den Betrag eines Vektors gilt folgende Formel:
Entsprechend berechnest Du die Seitenlängen im Dreieck:
Antwort: Die Seitenlängen des Dreiecks betragen , und .
Prüfe, ob das Dreieck rechtwinklig ist.
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Bei einem rechtwinkligen Dreieck müssen zwei Vektoren senkrecht aufeinander stehen, d.h. ihr Skalarprodukt muss Null ergeben.
Bei einem rechtwinkligen Dreieck müssen zwei Vektoren senkrecht aufeinander stehen, d.h. ihr Skalarprodukt muss Null ergeben.
Das Skalarprodukt zweier Vektoren und im Raum berechnet sich nach folgender Formel:
Berechne zuerst das Skalarprodukt zwischen den Vektoren und .
Beachte hierbei, dass die beiden Vektoren vom Punkt aus weggerichtet sind.
Das Skalarprodukt der beiden Vektoren ist ungleich Null. Damit ist der Winkel ungleich .
Berechne nun das Skalarprodukt zwischen den Vektoren und .
Beachte hierbei, dass die beiden Vektoren vom Punkt aus weggerichtet sind.
Das Skalarprodukt der beiden Vektoren ist ungleich Null. Damit ist der Winkel ungleich .
Berechne jetzt das Skalarprodukt zwischen den Vektoren und .
Beachte hierbei, dass die beiden Vektoren vom Punkt aus weggerichtet sind.
Das Skalarprodukt der beiden Vektoren ist ungleich Null. Damit ist der Winkel ungleich .
Antwort: Das Dreieck ist nicht rechtwinklig.
Berechne alle Winkel des Dreiecks .
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Für die Winkelberechnung in einem Dreieck benötigst Du die Formel, nach der das Skalarprodukt definiert ist.
Für die Winkelberechnung in einem Dreieck benötigst Du die Formel, nach der das Skalarprodukt definiert ist.
Berechne nun mithilfe der inversen Kosinus-Funktion den Winkel :
Zur Vereinfachung der Schreibweise setze für den Winkel ,
für den Winkel und für den Winkel .
Die Werte für die entsprechenden Skalarprodukte hast Du schon in Teilaufgabe 2 berechnet. Die Beträge der entsprechenden Vektoren hast Du in Teilaufgabe 1 berechnet.
Hinweis
1.Beachte, dass Dein Taschenrechner auf DEG eingestellt ist.
2. Der wird mit berechnet.
Antwort: Die Winkel im Dreieck betragen:
und
Tipp
Prüfe, ob die Winkelsumme beträgt: