Eine Gemeinde möchte in einem Gebirgsmassiv, in dem sich eine waagrecht verlaufende, geologisch interessante Schicht befindet, ein kleines Museum errichten, welches Besuchern einen Einblick in die Besonderheiten der Gesteinsformation geben soll.
Geplant ist ein Ausstellungsraum mit Erklärungstafeln, Tonbildschau und ähnlichem, der sich ca. 500 m weit innerhalb des Berges befinden soll, und zu dem die Besucher mit einer kleinen Bahn hingebracht werden.
Die Bahnstrecke soll dabei so geführt werden, dass die Besucher während der Fahrt einen möglichst guten Einblick in die interessante Gesteinsschicht bekommen.
Skizze nicht maßstabsgetreu
Nach dem Architektenentwurf liegt der Punkt, in dem der Zug in den Berg hineinfahren soll, 1,55 m oberhalb der Höhe der Gesteinsschicht. Von dort aus verläuft die geplante Strecke in einer leicht geschwungenen Linie teils oberhalb, teils unterhalb der Schicht bis zu dem Ausstellungsraum.
Wählt man den oberen Rand der Gesteinsschicht als -Achse, und setzt am Einstiegspunkt der Bahn in den Berg , so wird der Höhenverlauf der Strecke für angenähert beschrieben durch die Funktion mit
wobei und in Metern gemessen werden.
Berechne den Neigungswinkel gegen die Horizontale, in dem der Zug im Punkt in den Berg einfährt.
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Lösungsplan
- Steigung bei mithilfe der Ableitung ausrechnen.
- Steigungswinkel über die Formel berechnen.
Ableitung berechnen
Neigungswinkel berechnen
Der Neigungswinkel beträgt näherungsweise . Die Bahn fährt also mit einem Winkel von nach unten.
Bestimme rechnerisch die Stelle , an der die Bahnstrecke ihren tiefsten Punkt erreicht. Runde dabei auf zwei Stellen hinter dem Komma. Wie tief unterhalb des unteren Randes der Gesteinsschicht liegt dieser Punkt, wenn die Gesteinsschicht ca. 80 cm dick ist? (Teilergebnis: )
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- Nullstellen der Ableitung berechnen.
- Monotonie bestimmen.
- Minimum der Funktion berechnen.
- Punkt unter der Gesteinsschicht berechnen.
Nullstellen der Ableitung
Löse die Gleichung mit Hilfe der Mitternachtsformel
Monotonie bestimmen
Setze Werte unter , zwischen und und Werte über in die Ableitung ein. Prüfe welche Vorzeichen sich für die Funktion ergeben. Wenn die Ableitung ein negatives Vorzeichen hat, fällt die Funktion. Wenn die Ableitung positiv ist, steigt die Funktion. So ergibt sich als Minimum und als Maximum.
Minimum der Funktion berechnen
Daraus ergibt sich die Stelle am Punkt
Punkt unter der Gesteinsschicht berechnen
Die Gesteinsschicht beträgt 80cm. Wir ziehen also von den m unter der x-Achse - also der oberen Gesteinsschicht - noch m ab.
Antwort: Der Punkt liegt ca. 2,28m unter der Gesteinsschicht.
Im Endpunkt fährt der Zug in den Ausstellungsraum ein. Begründe durch eine geeignete Rechnung, dass der Übergang von der geschwungenen Bahnstrecke auf den waagrecht liegenden Ausstellungsraum ohne Knick erfolgt.
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- Bedingung für einen knickfreien Übergang an der Stelle lautet:
- Steigung bei mit Hilfe der Ableitung berechnen.
- Steigung des Ausstellungsraumes bestimmen.
In Teilaufgabe 2 wurden die Nullstellen der ersten Ableitung berechnet.
Sie liegen bei und bei . Somit gilt:
Der Ausstellungsraum liegt laut Text waagrecht, d.h. die Steigung des Ausstellungsraumes ist gleich Null:
Antwort: Die Bedingung für einen knickfreien Übergang der Bahnlinie in den Ausstellungsraum ist erfüllt. Beide Graphen haben am Übergangspunkt die gleiche Steigung.
Welche mittlere Steigung überwindet die Lokomotive zwischen dem tiefsten Punkt der Strecke und dem Endpunkt ? An welchen Stellen ist die lokale Steigung gerade genauso groß wie diese mittlere Steigung?
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- Die mittlere Steigung über die Formel berechnen.
- Die 1.Ableitung gleich der mittleren Steigung setzen.
- Die Gleichung lösen.
Der tiefste Punkt der Strecke hat die Koordinaten
Der Endpunkt hat die Koordinaten .
Berechne :
Die mittlere Steigung wird zwischen den Punkten und berechnet:
Antwort: Die mittlere Steigung, die die Lokomotive zwischen dem tiefsten Punkt der Strecke P und dem Endpunkt E überwinden muss, beträgt
Die lokale Steigung soll gleich dieser mittleren Steigung sein.
Löse die Gleichung mit Hilfe der Mitternachtsformel
Antwort: An den Stellen und ist die lokale Steigung gerade genauso groß wie die mittlere Steigung.
Welche Steigung muss die Lokomotive zwischen dem tiefsten Punkt und maximal bewältigen?
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- Berechnung der Wendestelle
- Berechnung der Steigung an der Wendestelle .
In den Wendepunkten einer Funktion ist die Steigung (lokal) maximal oder minimal.
Berechne die 2. Ableitung der Funktion und bestimme ihre Nullstellen.
Löse die Gleichung nach auf:
Zur Überprüfung, ob Wendestelle ist, bilden wir die dritte Ableitung.
. Damit ist Wendestelle.
Zur Bestimmung der Steigung an der Wendestelle wird in die 1. Ableitung eingesetzt.
Die Steigung ist positiv, d.h. es handelt sich um die maximalste Steigung.
Antwort: Die maximalste Steigung, die die Lokomotive zwischen dem tiefsten Punkt P und dem Punkt E bewältigen muss, beträgt