Drei konventionelle landwirtschaftliche Betriebe und sind untereinander und mit dem Markt nach dem Leontief – Modell verflochten. Das Diagramm stellt die momentane Verflechtung der Betriebe in Mengenein-heiten dar, mit .
Bestimmen Sie , und und geben Sie deren Bedeutung im Sachzusammenhang an. Berechnen Sie die Inputmatrix . (6 BE)
Lösung anzeigen
- Übertrage Werte in eine Input-Output-Tabelle.
- Bestimme Parameter a, b und mittels Zeilenoperationen.
- Bestimme Koordinaten der Inputmatrix A.
Berechnung der Parameter a, b und
Werte des Verflechtungsdiagramms in eine Input-Output Tabelle eintragen:
B | R | S | Markt | Produktion | |
|---|---|---|---|---|---|
B | 160 | 60 | 60 | 400 | |
R | a | 120 | 20 | 120 | 300 |
S | 0 | 60 | b | 0 | 200 |
Aus den Zeilen der Tabelle erhält man folgende Gleichungen:
nach umformen
nach a umformen
nach b umformen
Die gesuchten Parameter sind .
Bedeutung im Sachzusammenhang
bedeutet, dass Betrieb R 40 ME an Betrieb B liefert.
bedeutet, dass Betrieb S 140 ME seiner Produktion für den Eigenbedarf verwendet.
bedeutet, dass Betrieb B 120 ME an den Markt liefert.
Berechnung der Inputmatrix A
Die Koordinaten der Matrix A ergeben sich, indem man die Zahlenwerte der Input-Output-Tabelle durch die entsprechenden Werte des Produktionsvektors teilt.
In der nächsten Produktionsperiode wird erwartet, dass die Nachfrage von Produkten der Betriebe auf und auf sinkt. Betrieb soll an den Markt liefern. Berechnen Sie den zugehörigen Produktionsvektor. Nennen Sie die Ursache dafür, dass trotz des Absinkens der Produktion in allen drei Betrieben die Marktabgabe in einem Betrieb steigt. (7 BE)
Lösung anzeigen
- Verwende die Grundgleichung des Leontief-Modells um den neuen Produktionsvektor zu berechnen.
- Löse die Gleichung mithilfe des Gauß-Algorithmus.
- Vergleiche die alten und neuen Produktion- und Marktvektoren.
Grundgleichung des Leontief-Modells
Details anzeigen
- Marktvektor :
Die externe Nachfrage nach den Outputs der verschiedenen Sektoren.
- Inputmatrix :
Sie gibt an, wie viel Input von jedem Sektor benötigt wird, um eine Einheit Output zu produzieren (Produktionsverhältnisse zwischen den Sektoren).
- Produktionsvektor :
Die Menge an Output, die in den verschiedenen Sektoren produziert wird.
- Einheitsmatrix
Gleichung lösen mithilfe des Gauß-Algorithmus
,Setze die Einheitsmatrix, Inputmatrix und den neuen Marktvektor in die Grundgleichung des Leontief-Modells.
Berechne den neuen Produktionsvektor mithilfe des Gauß-Algorithmus.
Daraus folgt:
Damit lautet der gesuchte neue Produktionsvektor:
Ursache für steigende Marktabgabe bei S
Markt:
Produktion:
Die Produktion ist in allen drei Betrieben tatsächlich gesunken. Eine mögliche Erklärung dafür, dass die Marktabgabe des Betriebs S dennoch gestiegen ist, lautet, dass die Betriebe B und R weniger produzieren und folglich weniger Mengeneinheiten von S benötigen. Dadurch kann Betrieb S mehr Produkte auf den Markt bringen.
Die Betriebe entschließen sich mittelfristig auf biologische Betriebsführung umzustellen. Für die Umstellungszeit ergibt sich die neue Inputmatrix
Dabei ist ein technologieabhängiger Parameter. Berechnen Sie, für welchen Wert von die Summe der Marktabgaben aller drei Betriebe am größten ist, wenn der Produktionsvektor geplant ist.
Hinweis: Es kann davon ausgegangen werden, dass die Marktabgaben der drei Betriebe für nicht negativ sind. (8 BE)
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- Berechne den neuen Marktvektor in Abhängigkeit vom Parameter t mit der Grundgleichung des Leontief-Modells.
- Verwende für die Berechnung der Summe der Marktabgaben die drei Koordinaten des neuen Marktvektors y(t).
- Bestimme das Maximum von der Summe der Marktabgaben.
Berechnung des neuen Marktvektors
Setze die Einheitsmatrix, die neue Inputmatrix und den vom Parameter t abhängigen Produktionsvektor in die Grundgleichung des Leontief-Modells.
mit
Gemäß dem Hinweis sind die Koordinaten des Marktvektors für nicht negativ, daher muss das hier nicht nachgewiesen oder überprüft werden.
Damit lautet der neue Marktvektor in Abhängigkeit von t:
Berechnung der maximalen Summe der Marktabgaben
Die Summe der Marktangaben erhält man durch Addition der drei Koordinaten des neuen Marktvektors . Sei dies , somit gilt:
Die Funktion beschreibt eine nach unten geöffnete Parabel. Das Maximum liegt somit bei dem Scheitel, sofern dieser im Intervall [16;22] liegt.
Bestimme die erste Ableitung der Funktion s und bestimme das Maximum.
Da liegt, wird die Summe aller Marktabgaben für maximal.