Zur Wiederaufforstung von steilen Gebirgshängen werden zunächst Baumsetzlinge gezüchtet und anschließend gepflanzt. Die Höhe (in ) eines Baumsetzlings in Abhängigkeit von der Zeit (in Monaten) wird durch folgende Funktion näherungsweise beschrieben:
für .
Die Pflanzung des Setzlings erfolgt zum Zeitpunkt . Nach Monaten ist das Höhenwachstum im Wesentlichen beendet. Auf die Verwendung von Einheiten kann bei der Rechnung verzichtet werden. Ergebnisse sind sinnvoll zu runden.
Berechnen Sie die Höhe eines Setzlings zum Zeitpunkt der Anpflanzung und am Ende der Wachstumsphase. (2 BE)
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Die Funktion beschreibt die Höhe des Setzlings in Abhängigkeit der Zeit beschreibt. Um die Aufgabe zu lösen, setze die Werte und ein und rechne aus:
Der Setzling hatte bei der Pflanzung eine Höhe von und am Ende der Wachstumsperiode .
Haben die Bäume eine Höhe von mindestens erreicht, sind sie sicher mit dem Gebirgshang verwurzelt und können so einen Murenabgang nach sehr starken Regenfällen verhindern.
Berechnen Sie, wie viele Jahre es ab dem Beginn der Pflanzung dauert, bis ein Murenabgang aufgrund der Aufforstung erfolgreich abgewendet werden kann. (3 BE)
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Suche den Zeitpunkt , zu dem die Bäume die Höhe von genau erreichen. Setze dafür die Funktion gleich und löse nach auf:
Dabei wurde im vorletzten Schritt beide Seiten exponiert. Auf der linken Seite kürzt sich dann wegen der Logarithmus raus.
Damit müssen mehr als 134 Monate vergehen, bis die Bäume Murenabgänge verhindern können. Das sind ungefähr Jahre. Das heißt, es müssen mindestens 12 Jahre vergehen, bis die Bäume stark genug verwurzelt sind.
Zeigen Sie, dass die Baumsetzlinge für am stärksten wachsen. (4 BE)
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Die Funktion beschreibt die Höhe der Setzlinge. Wenn du die Funktion ableitest, dann beschreibt das die Änderung der Höhe, damit also die Wachstumsrate. Berechne also die Ableitung von :
Die Summe lässt sich getrennt ableiten, der erste Summand fällt als Konstante weg. Um den zweiten Summand abzuleiten, benötigst du die Kettenregel. Dabei ist die innere Funktion , ihre Ableitung ist 3 (Stichwort Nachdifferenzieren). Damit gilt
Insgesamt gilt also
Nun suchst du die höchste Wachstumsrate und damit das Maximum von .
Du siehst, dass eine Hyperbel ist, die ihre Polstelle bei hat. Als monoton fallende Funktion im Bereich muss also die Stelle 0 das Maximum im Intervall sein.