Die Funktion beschreibt näherungsweise die zeitliche Entwicklung der Einwohnerzahl einer fränkischen Kleinstadt. Es gilt hierfür die Funktionsgleichung mit , .
Der Zeitpunkt wird auf den 1.1.1995 festgelegt. Dabei gibt n die Einwohnerzahl in Tausend und die Zeit in Jahren an. Auf Einheiten soll bei den Rechnungen verzichtet werden. Runden Sie die Ergebnisse sinnvoll.
Am 1.1.1999 hatte die Stadt Einwohner. Bestimmen Sie damit den Wert des Parameters b. (2 BE)
[ Ergebnis: ]
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Berechnen Sie Art und Koordinaten des lokalen Extrempunktes des Graphen der Funktion n und interpretieren Sie Ihre Ergebnisse im gegebenen Sachzusammenhang. (7 BE)
[ mögliches Teilergebnis: ]
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Die Funktion ist
Ableiten ergibt
Das lässt sich vereinfachen zu
Um einen Extrempunkt zu bestimmen, suchst du Werte für mit
Um die Art des Extremums festzustellen, , leitest du noch einmal ab:
Setze jetzt ein:
Es handelt sich also um einen Tiefpunkt. Jetzt musst du noch den Funktionswert berechnen:
Zunächst sinkt die Einwohnerzahl zwischen 1995 und 2003 auf einen tiefsten Wert von etwa 19300, danach steigt sie wieder an.
Zeichnen Sie den Graphen der Funktion n in ein geeignetes Koordinatensystem.
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Zum 1.1.2010 konnte die Stadt Fördergelder beantragen. Diese richteten sich nach der durchschnittlichen Einwohnerzahl der Stadt während der vergangenen 15 Jahre. Ermitteln Sie die Höhe der Fördermittel, wenn es pro durchschnittlichem Einwohner an Fördergeldern gab, indem Sie zunächst das Integral berechnen. (5 BE)
[Teilergebnis: ]
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Stammfunktion:
Durchschnittliche Einwohnerzahl in 15 Jahren:
Fördermittel: