Simon konstruiert ein Dreieck aus den gegebenen Größen , und . Seine wesentlichen Konstruktionsschritte sind in der Bilderreihe schematisch dargestellt.
Ergänze Simons Überlegungen zur Konstruktion. (2 BE)
Die Seite a legt die Punkte B und C fest.
Der Punkt A liegt auf:
1.
2.
Gegeben: Die Seite a legt die Punkte B und C fest. Gesucht: Der Punkt A liegt auf:
1. 2.
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Für die Lösung der Teilaufgabe a) solltest du Kenntnisse über die Eigenschaften der Höhe eines Dreiecks und den Satz des Thales haben.
Gegeben: Die Seite a legt die Punkte und fest. Gesucht: Der Punkt liegt auf:
1. 2.
Für 1. benutzt du das zweite Bild der Bildreihe und die Angabe . Außerdem nutzt du dein Wissen zur Höhe in einem Dreieck. Die Höhe ist eine Strecke, die senkrecht auf der Seite steht und im Punkt endet. Daraus kannst du folgern, dass der Punkt A auf der parallelen Geraden zur Strecke im Abstand liegt.
Wir halten fest: Der Punkt liegt auf einer parallelen Geraden, die den Abstand von der Strecke hat.
Für 2. betrachtest du das dritte Bild der Bildreihe und nutzt dein Wissen zum Satz des Thales bzw. der Umkehrung des Thalessatzes. Liegt unser Punkt zusätzlich auf dem Thaleskreis über der Strecke . Verbindest du nun die Punkte und so erhältst du ein Dreieck, das beim Punkt einen rechten Winkel einschließt, also .
Die Antwort lautet folglich:
Die Seite a legt die Punkte und fest. Der Punkt liegt auf: 1. einer parallelen Geraden, die den Abstand von der Strecke hat. 2. dem Thaleskreis über
Berechne den Flächeninhalt des Dreiecks aus den gegebenen Größen. (2 BE)
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Für den Flächeninhalt eines Dreiecks gilt:
Nun setzt du ein.
Zusätzlich zu den gegebenen Größen gilt . Stelle eine Gleichung auf, mit der die Seitenlänge berechnet werden kann. (1 BE)
Hinweis: Die Gleichung muss nicht gelöst werden.
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Schneiden wir das Dreieck entlang der Höhe in zwei Teile, dann sind die beiden Teile genauso groß wie eine lila bzw. eine türkisfarbene Fläche in dem Bild. Da es sich bei unserem Dreieck um ein rechtwinkliges Dreieck handelt. Es gilt .
Anhand unseren Überlegungen können wir die Gleichung über die Flächeninhalte der Rechtecke aufstellen. Die Lösung lautet folglich: