Zwei Drittel der Senioren in Deutschland besitzen ein Mobiltelefon. Bei einer Talkshow zum Thema „Chancen und Risiken der digitalen Welt" sitzen 30 Senioren im Publikum.
Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass unter 30 zufällig ausgewählten Senioren in Deutschland mindestens 17 und höchstens 23 ein Mobiltelefon besitzen. (3 BE)
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Wir können uns die Situtation als Bernoulli-Kette vorstellen. Wird ein Bernoulli-Experiment n-mal voneinander unabhängig wiederholt, so spricht man von einer Bernoulli-Kette der Länge n. Ein Bernoulli-Experiment ist ein Zufallsexperiment mit genau zwei möglichen Versuchsausgängen (= Ergebnissen). Die zu einer Bernoulli-Kette gehörende Wahrscheinlichkeitsverteilung ist die Binomialverteilung.
Warum handelt es sich hier um eine Bernoulli-Kette?
Um festzustellen, dass es sich um eine Bernoulli-Kette handelt und die Binomialverteilung angewandt werden darf, musst du drei Bedingungen überprüfen:
Das Einzel-Experiment wird n-mal voneinander unabhängig wiederholt.
Es handelt sich um ein Zufallsexperiment: Jeder Senior im Publikum ist "zufällig ausgewählt". Außerdem gibt es nur zwei mögliche Ergebnisse: Ein Senior besitzt entweder ein Mobiltelefon oder nicht. Wenn ein Senior ein Mobiltelefon besitzt, werten wir dies als Treffer.
Das Einzel-Experiment wird n-mal voneinander unabhängig wiederholt.
Es werden 30 Senioren zufällig ausgewählt, d.h. das Einzel-Experiment wird dreißig Mal wiederholt. Sind die Einzel-Experimente voneinander unabhängig? Nehmen wir den als zweites ausgewählten Senior. Die Wahrscheinlichkeit, dass er oder sie ein Mobiltelefon besitzt, hängt davon ab, ob der als erstes ausgewählte Senior ein Handy besitzt. Da es in Deutschland sehr viele Senioren gibt, ist der Unterschied der Wahrscheinlichkeiten aber verschwindend gering. Wir können also annehmen, dass die Wiederholungen des Experiments voneinander unabhängig sind. Die Wahrscheinlichkeit, dass ein zufällig ausgewählter Senior ein Handy besitzt, entspricht dem Anteil der Senioren mit Handy an allen Senioren, also zwei Dritteln.
Damit die Formel der Binomialverteilung angewandt werden darf: Nur die Anzahl der Treffer interessiert, und nicht, an welchen Stellen die Treffer auftreten.
Uns interessiert nur, wie viele der 30 Senioren ein Handy haben. Wir definieren die Zufallsgröße als "Anzahl der Senioren im Publikum mit Handy".
Wir definieren die Zufallsgröße als "Anzahl der Senioren im Publikum mit Handy". Die Zufallsgröße ist binomialverteilt. Du sollst die Wahrscheinlichkeit bestimmen, dass mindestens 17 und höchstens 23 Senioren im Publikum ein Handy besitzen. Definiere das Ereignis : "mindestens 17 und höchstens 23 Senioren im Publikum besitzen ein Handy". Die Wahrscheinlichkeit, dass eintritt, entspricht der Wahrscheinlichkeit, dass einen Wert von mindestens 17 und höchstens 23 annimmt. Die Wahrscheinlichkeit, dass einen Wert zwischen zwei Zahlen annimmt, lässt sich nach dem Merksatz ”Obere Grenze minus die um 1 verkleinerte untere Grenze“ bestimmen. Die Wahrscheinlichkeit, dass maximal einen bestimmten Wert annimmt, entspricht dem Wert der Verteilungsfunktion an dieser Stelle. Da bernoulliverteilt ist, verwenden wir die Verteilungsfunktion der Bernoulliverteilung. Die benötigten Werte dieser Verteilungsfunktion kannst du im Tafelwerk der Stochastik nachsehen.In Formeln:
Antwort: Die Wahrscheinlichkeit, dass unter 30 zufällig ausgewählten Senioren in Deutschland mindestens 17 und höchstens 23 ein Mobiltelefon besitzen, beträgt ca. .
Von den 30 Senioren im Publikum besitzen 24 ein Mobiltelefon. Im Verlauf der Sendung werden drei der Senioren aus dem Publikum zufällig ausgewählt und nach ihrer Meinung befragt. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass genau zwei dieser drei Senioren ein Mobiltelefon besitzen. (3 BE)
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Wir können uns die Situation als Urnenmodell mit Ziehen ohne Zurücklegen vorstellen. In der Urne befinden sich 30 Kugeln (30 Senioren im Publikum). Davon sind 24 schwarz (24 der Senioren im Publikum besitzen ein Mobiltelefon). Nun werden aus der Urne 3 Kugeln ohne Zurücklegen gezogen (3 Senioren werden zufällig ausgewählt). Die Wahrscheinlichkeit, dass genau 2 Kugeln schwarz (genau 2 der 3 Senioren besitzen ein Handy) können wir mit der Formel aus der Merkhilfe bestimmen:
Antwort: Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass genau zwei der drei ausgewählten Senioren ein Mobiltelefon besitzen, beträgt ca. .