Bei der Wintersportart Biathlon wird bei jeder Schießeinlage auf fünf Scheiben geschossen. Ein Biathlet tritt bei einem Einzelrennen zu einer Schießeinlage an, bei der er auf jede Scheibe einen Schuss abgibt. Diese Schießeinlage wird modellhaft durch eine Bernoullikette mit der Länge 5 und der Trefferwahrscheinlichkeit beschrieben.
Geben Sie für die folgenden Ereignisse A und B jeweils einen Term an, der die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses in Abhängigkeit von p beschreibt. (3 BE)
A: „Der Biathlet trifft bei genau vier Schüssen.“
B: „Der Biathlet trifft nur bei den ersten beiden Schüssen.“
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Berechnung der Wahrscheinlichkeit der Ereignisse und
Ereignis
Die Aufgabenstellung gibt vor, dass du die Wahrscheinlichkeit mit einer Bernoullikette berechnen sollst.
Der Biathlet trifft…
- vier Mal mit einer Wahrscheinlichkeit von .
- ein Mal nicht - mit einer Wahrscheinlichkeit von (als Gegenereignis von "Der Biathlet trifft").
Der Fehlschuss kann dem Biathleten in fünf Schüssen passieren, allerdings muss er dann die übrigen vier Schüsse treffen.
Daher gibt es fünf günstige Pfade im Baumdiagramm für das Ereignis .
Man berechnet also:
Ereignis
Bei Ereignis ist die Reihenfolge wichtig. Deshalb bietet es sich an, ein Baumdiagramm zu verwenden.
Der Biathlet soll nur in Schuss 1 und Schuss 2 treffen.Das bedeutet, dass er in den Schüssen 3,4 und 5 sein Ziel verfehlt.
Wie man in folgendem Baumdiagramm sieht, gibt es genau einen Pfad, der das ermöglicht. T steht für "Treffer", D steht für "Daneben".
Daher ergibt sich die Wahrscheinlichkeit mithilfe der Pfadregeln zu:
Erläutern Sie anhand eines Beispiels, dass die modellhafte Beschreibung der Schießeinlage durch eine Bernoullikette unter Umständen der Realität nicht gerecht wird. (2 BE)
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Für eine Bernoullikette muss die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer in jedem der fünf Schüsse gleich sein.
Es gibt aber verschiedene Einflüsse, die bewirken, dass nicht jeder Schuss des Biathleten mit der gleichen Wahrscheinlichkeit sein Ziel findet.
Dazu zählen:
- Äußere Einflüsse wie Windböen, die vielleicht beim zweiten Schuss einsetzen und danach wieder versiegen.
- Psychologische Einflüsse: Zum Beispiel kann sich die Trefferwahrscheinlichkeit ändern, wenn der Biathlet die ersten beiden Schüsse nicht getroffen hat und jetzt Angst hat, den dritten Schuss erneut nicht zu treffen.