Gegeben sind die Punkte , und .
Weisen Sie nach, dass der Punkt auf der Geraden , nicht aber auf der Strecke liegt. (3 BE)
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Stelle zunächst die Gerade auf. Die allgemeine Geradengleichung in der analystischen Geometrie lässt sich schreiben als
Dabei ist der Ortsvektor und der Richtungsvektor der Geraden.
Bestimme den Richtungsvektor der Geradengleichung, also ( funktioniert auch).
Als Ortsvektor der Geradengleichung kannst du oder nehmen (hier wird verwendet). Du erhältst dann die folgende Geradengleichung:
Setze jetzt den Ortsvektor des Punkts für ein, um zu prüfen, ob auf der Geraden liegt:
Jetzt erhältst du die folgenden drei Gleichungen, die du nach auflösen kannst:
Die drei Gleichungen sind für erfüllt und somit liegt auf der Geraden .
Setzt man nun und in die Geradengleichung ein, stellt man fest, dass für und für .Es liegen also nur Punkte mit auf der Strecke . Da für , liegt nicht auf der Strecke .
Auf der Strecke gibt es einen Punkt , der von dreimal so weit entfernt ist wie von . Bestimmen Sie die Koordinaten von . (2 BE)
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Du kannst zunächst zur Veranschaulichung eine Skizze wie die nebenstehende zeichnen. Aus Teilaufgabe a) weißt du schon, dass für den Punkt auf der Geraden und für . Da dreimal so weit von entfernt ist wie von , ist für den Punkt .
Setze in die Geradengleichung ein, um zu erhalten:
hat die Koordinaten .
