Schwarze und weiße Kugeln sind wie folgt auf drei Urnen verteilt:
Aus Urne A wird zunächst eine Kugel zufällig entnommen und in Urne B gelegt. Anschließend wird aus Urne B eine Kugel zufällig entnommen und in Urne C gelegt. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass sich danach in Urne C zwei weiße Kugeln und eine schwarze Kugel befinden.
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Um dir die Situation klar zu machen, kannst du ein Baumdiagramm zeichnen. Im ersten Schritt zieht man eine Kugel der Urne A. Im zweiten Schritt zieht man eine Kugel der Urne B, wobei man hier darauf achten muss, dass die Wahrscheinlichkeiten davon abhängen, welche Kugel man in Urne A gezogen hat.
In Urne C befinden sich am Ende genau dann zwei weiße und eine schwarze Kugel, wenn eine schwarze Kugel aus Urne B entnommen, und in Urne C gelegt wird. Es gibt zwei Pfade, bei denen dies geschieht. Addiere die Wahrscheinlichkeiten dieser beiden Pfade, um die gesuchte Wahrscheinlichkeit zu erhalten. Beachte dabei die Pfadregeln.
Die drei Urnen mit den in der Abbildung dargestellten Inhalten bilden den Ausgangspunkt für folgendes Spiel:
Es wird zunächst ein Einsatz von eingezahlt. Anschließend wird eine der drei Urnen zufällig ausgewählt und danach aus dieser Urne eine Kugel zufällig gezogen. Nur dann, wenn diese Kugel schwarz ist, wird ein bestimmter Geldbetrag ausgezahlt.
Ermitteln Sie, wie groß dieser Geldbetrag sein muss, damit bei diesem Spiel auf lange Sicht Einsätze und Auszahlungen ausgeglichen sind.
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Auch hier kannst du zur Berechnung der Wahrscheinlichkeiten ein Baumdiagramm verwenden.
Die Wahrscheinlichkeit, eine schwarze Kugel zu erhalten, also , setzt sich zusammen aus und ( ist Null und muss deshalb nicht mit einbezogen werden):
Erwartungswert
Damit das Spiel auf lange Sicht ausgeglichen ist, muss der Erwartungswert für den Gewinn 1 sein, denn der Spieler zahlt einen Euro.
Stelle den Erwartungswert auf und löse nach dem gesuchten Gewinn auf (dieser wird hier als bezeichnet).
Damit das Spiel ausgeglichen ist, müssen also als Gewinn ausgezahlt werden.