Für die Fernsehübertragung eines Fußballspiels wird über dem Spielfeld eine bewegliche Kamera installiert. Ein Seilzugsystem, das an vier Masten befestigt wird, hält die Kamera in der gewünschten Position. Seilwinden, welche die Seile koordiniert verkürzen und verlängern, ermöglichen eine Bewegung der Kamera. In der Abbildung ist das horizontale Spielfeld modellhaft als Rechteck in der -Ebene eines kartesischen Koordinatensystems dargestellt. Die Punkte , , und beschreiben die Positionen der vier Seilwinden. Eine Längeneinheit im Koordinatensystem entspricht in der Realität, d. h. alle vier Seilwinden sind in einer Höhe von angebracht.
Der Punkt beschreibt die Lage des Anstoßpunkts auf dem Spielfeld. Die Kamera befindet sich zunächst in einer Höhe von vertikal über dem Anstoßpunkt. Um den Anstoß zu filmen, wird die Kamera um vertikal abgesenkt. In der Abbildung ist die ursprüngliche Kameraposition durch den Punkt , die abgesenkte Position durch den Punkt dargestellt.
Berechnen Sie die Seillänge, die von jeder der vier Seilwinden abgerollt werden muss, um dieses Absenken zu ermöglichen, wenn man davon ausgeht, dass die Seile geradlinig verlaufen. (4 BE)
Kurze Zeit später legt sich ein Torhüter den Ball für einen Abstoß bereit. Der Abstoß soll von der Kamera aufgenommen werden. Durch das gleichzeitige Verlängern beziehungsweise Verkürzen der vier Seile wird die Kamera entlang einer geraden Bahn zu einem Zielpunkt bewegt, der in einer Höhe von über dem Spielfeld liegt. Im Modell wird der Zielpunkt durch den Punkt beschrieben, die Bewegung der Kamera erfolgt vom Punkt entlang der Geraden mit der Gleichung , , zum Punkt .
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Die Kamera befindet sich in ihrer Ursprungsposition direkt über dem Anstoßpunkt . Aus der Angabe kann man herauslesen, dass sie zunächst in einer Höhe von ist. So sind ihre Koordinaten einfach zu bestimmen.
Die Kamera befindet sich ursprünglich in .
Anschließend wird die Kamera zu Beginn des Spiels um abgesenkt. Es ändert sich nur ihre -Koordinate, da sie sich erneut direkt über befindet. Man rechnet , um herauszufinden, in wie weit sie sich nun über dem Spielfeld befindent
Die zweite Position der Kamera ist .
Seillängen
Da sich die Kamera in ihren ersten beiden Positionen im Zentrum der vier Seilwinden befindet, reicht es aus, nur den Abstand zu einer Seilwinde zu bestimmen.
Ziel dieses Aufgabenteils ist es, den Abstand der zwei Kamerapositionen zu zu vergleichen, indem man deren Differenz betrachtet.
Seillänge
Seillänge
Abstand von und
Man muss von jeder der vier Seilwinden jeweils abseilen.
Bestimmen Sie die Koordinaten von . (3 BE) (Ergebnis )
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Berechnung von
Aus dem Text kannst du schon eine Koordinate von herauslesen. Es heißt "Der Zielpunkt befindet sich in einer Höhe von über dem Spielfeld." Da das Spielfeld in der -Ebene liegt, gilt .
Außerdem weißt du, dass auf der Geraden liegt.
Setze in die Geradengleichung ein.
Da du die Koordinate weißt, muss gelten:
Löse nach auf.
Setze in die Geradengleichung von ein.
Und schon hast du das Ergebnis .
Im Zielpunkt ist die Kamera zunächst senkrecht nach unten orientiert.Um die Position des Balls anzuvisieren, die im Modell durch den Punkt beschrieben wird, muss die Kamera gedreht werden.Berechnen Sie die Größe des erforderlichen Drehwinkels. (4 BE)
Der Torwart führt den Abstoß aus. Der höchste Punkt der Flugbahn des Balls wird im Modell durch den Punkt beschrieben.
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Die Kamera schwenkt von einer senkrechten Ansicht nach unten auf das Spielfeld in Richtung , wo sich ein Ball befindet. Stelle dir vor, dass die unterschiedlichen Blickwinkel anhand von zwei Vektoren dargestellt werden. Gesucht ist der Winkel zwischen diesen zwei Vektoren.
Zunächst zeigt die Kamera senkrecht nach unten. Da man nichts an ihrer - und -Koordinate ändert, aber an ihrer -Koordinate, ist ihr Richungsvektor somit
Der Blickwinkel von der zweiten Position der Kamera zum Ball ist gegeben durch den Richtungsvektor
Der gesuchte Drehwinkel zwischen diesen Richtungsvektoren und ist gegeben durch
Die Kamera schwenkt also zur Ballposition in dem Drehwinkel .
Ermitteln Sie eine Gleichung der durch die Punkte , und festgelegten Ebene in Normalenform und weisen Sie nach, dass unterhalb von liegt. (7 BE) (Mögliches Teilergebnis: )
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Bestimmung der Ebenengleichung in Koordiantenform
Gegeben und ausgerechnet sind die Punkte , und .
Zur Aufstellung einer Ebenengleichung in Koordinatenform benötigst du einen Stützpunkt und zwei Spannvektoren, die von diesem Punkt aus ausgehen und die Ebene aufspannen. Zum Beispiel suchst du dir den Stützpunkt und die Vektoren, die von diesem Punkt aufgespannt werden.
Rechne dazu die Vektoren und aus.
Setze die Werte in die Ebenengleichung in Koordinatenform ein.
Bestimmung der Ebenengleichung in Normalenform
Um von der Koordinatenform zur gesuchten Normalenform zu kommen musst du die folgende Formel anwenden:
- ist der Normalenvektor. Dieser steht senkrecht zu den beiden Spannvektoren.
- ist dein Stützpunkt
- Da der Normalenvektor senkrecht auf dem Differenzvektor steht, setzt man die Gleichung gleich .
Aus den beiden Spannvektoren rechnest du deinen Normalenvektor aus.
Setze die Vektoren in die Ebenengleichung ein.
Rechne das Skalarprodukt aus.
Kürze die Gleichung durch damit die großen Zahlen verschwinden.
Schon bist du beim Zwischenergebnis. Super! :-)
Jetzt musst du nur noch nachweisen, dass der Punkt unterhalb dieser Ebene liegt. Hier geht es um die Höhe, du musst also die Koordinate betrachten.
Am Besten siehst du dir den Punkt an, der die selben und Koordinaten wie hat, aber auf der Ebene liegt. Du kannst ihn zum Beispiel nennen. Seine Koordinate kannst du herausfinden, indem du die Werte und in die Ebenengleichung einsetzt und dann nach auflöst:
Die Koordinate, also Höhe, von dem Punkt , der auf der Ebene liegt, ist also und damit größer, als die Koordinate von .
Das heißt der Punkt liegt unterhalb der Ebene .
Machen Sie plausibel, dass folgende allgemeine Schlussfolgerung falsch ist: „Liegen der Startpunkt und der anvisierte höchste Punkt einer Flugbahn des Balls im Modell unterhalb der Ebene , so kann der Ball entlang seiner Bahn die Seile, die durch und beschrieben werden, nicht berühren.“ (2 BE)
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Die Flugbahn eines Balles ist nicht geradlinig. Ein Ball fliegt meistens parabelförmig. Aus diesem Grund kann der Ball die Ebene berühren oder sogar schneiden, auch, wenn der Start- und Endpunkt der Flugbahn unterhalb der Ebene liegen.
Die Aussage ist also nicht wahr.
Obwohl der Hochpunkt der Flugbahn unterhalb der Ebene liegt, kann der Ball die Ebene und also auch die Seile berühren.