Eine dritte Modellierung des Querschnitts der Tunnelwand, bei der ebenfalls die Bedingungen I und II erfüllt sind, verwendet die Funktion mit Definitionsbereich .
Begründen Sie, dass in diesem Modell jeder Punkt des Querschnitts der Tunnelwand von der Bodenmitte M den Abstand hat. Zeichnen Sie den Graphen von f in ein Koordinatensystem ein (Platzbedarf im Hinblick auf spätere Aufgaben: , ) und begründen Sie, dass bei dieser Modellierung auch Bedingung III erfüllt ist. (5 BE)
Betrachtet wird nun die Integralfunktion mit Definitionsbereich .
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Jeder Punkt hat den Abstand zur Bodenmitte
Den Abstand kann man ähnlich wie bei 1b über den Satz des Pythagoras berechnen.
Damit hat man ausgerechnet, dass der Abstand von Punkt zur Bodenmitte immer beträgt. Der Abstand zu einem Punkt in der Mitte beträgt also immer , daher handelt es sich um einen Halbkreis.
Graph in Koordinatensystem zeichnen
Bedingung III ist erfüllt
Gehe dazu vor wie bei Aufgabe 2b.
Die Funktion ist, wie man an dem Graphen sieht, punktsymmetrisch. An der Stelle ist noch mind. hoch, damit auch an der Stelle und erfüllt damit die Bedingung III.
Zeigen Sie mithilfe einer geometrischen Überlegung, dass gilt. Einer der Graphen und ist der Graph von . Entscheiden Sie, welcher dies ist, und begründen Sie Ihre Entscheidung, indem Sie erklären, warum die beiden anderen Graphen nicht infrage kommen. (5 BE)
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Überlege dir zuerst, wofür steht
steht also für die Fläche unter dem Graphen von bis . Wie man an dem Graphen von 3a sehen kann (und man bei Aufgabenteil bewiesen hat), handelt es sich dabei um einen Viertelkreis mit Radius . Berechne den Flächeninhalt.
Damit ist das Kontrollergebnis bestätigt.
Auswahl des richtigen Graphen
Man könnte sich zuerst überlegen, ob die Funktion links des Ursprungs positiv oder negativ sein muss.
Sie muss negativ sein, weil die Fläche zwar oberhalb der -Achse ist, aber man in negative Richtung integriert. Damit scheidet der Graph B aus, weil hier die Funktion links des Ursprungs positiv ist.
Also kommen nur noch die Graphen und infrage. Bei Graph ist der Flächenzuwachs erst groß und wird dann abgeschwächt, bei Graph C ist es umgekehrt. Überlege, was zutrifft.
Bei einem Kreis ist die Fläche um den Ursprung mehr als am Rand (siehe Graph 3a), das heißt, dass der Flächenzuwachs am Anfang groß ist und dann abnimmt.
Alternativ kannst du dir auch überlegen, welche Werte die Ableitung von bei oder hat.
Bei Graph A ist die Ableitung an den Rändern und bei Graph C bzw. . Die Ableitung von entspricht der Funktion . Die Funktion hat an den Rändern den Wert .
Damit ist Graph richtig und Graph falsch.
Berechnen Sie, um wie viel Prozent der Inhalt der Querschnittsfläche des Tunnels bei einer Modellierung mit von dem in Aufgabe 2a berechneten Wert abweicht. (2 BE)
Der Tunnel soll durch einen Berg führen. Im betrachteten Querschnitt wird das Profil des Berghangs über dem Tunnel durch eine Gerade mit der Gleichung modelliert.
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Fläche aus 2a: Fläche bei Modellierung mit : (zwei Mal die Fläche des Viertelkreises)
Die Abweichung in Prozent berechnet man, indem man die Differenz der Werte durch den "ursprünglichen" Wert (also den der Aufgabe 2a) teilt.
Die Abweichung beträgt also ca.
Zeigen Sie, dass die Tangente an den Graphen von im Punkt parallel zu verläuft. Zeichnen Sie und in das Koordinatensystem aus Aufgabe 3a ein. (4 BE)
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Tangente verläuft parallel zu
Um Parallelität zu prüfen, muss man die Steigung der Tangente berechnen. Dazu bildet man die erste Ableitung und setzt ein.
Die Steigungen von und stimmen also überein, also sind sie parallel.
Einzeichnen von und
Dazu benötigt man die Geradengleichung von . Berechne dazu erst den Punkt .
Der Punkt hat also die Koordinaten . Setze diese in die Geradengleichung ein und berechne den -Achsenabschnitt von .
Die Geradengleichung von ist also . Mit diesen Infos kannst du die Geraden einzeichnen.
Der Punkt aus Aufgabe 3d entspricht demjenigen Punkt der Tunnelwand, der im betrachteten Querschnitt vom Hangprofil den kleinsten Abstand in Metern hat. Beschreiben Sie die wesentlichen Schritte eines Verfahrens zur rechnerischen Ermittlung von . (3 BE)
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Für den kleinsten Abstand braucht man die Lotgerade von R auf g. Die Steigung ist die Normalensteigung und wird mit Hilfe der Formel berechnet. Dann setzt man den Punkt ein und berechnet den -Achsenabschnitt. Damit hat man die Lotgerade. Nun muss man den Schnittpunkt der Lotgerade mit berechnen. Als Letztes berechnet man den Abstand von dem Schnittpunkt zu .