Die einfachste Vorgehensweise, einen Punkt an einer Ebene zu spiegeln, ist wie folgt:
- Hilfsgerade aufstellen, die senkrecht zur Ebene steht und durch den Punkt verläuft.
- Schnittpunkt der Gerade mit der Ebene bestimmen.
- Vektor berechnen.
- Vektor zu addieren, um den gesuchten Punkt zu bekommen.
Beispiel
Gegeben: und
- Hilfsgerade bestimmen: Diese soll senkrecht auf der Ebene stehen; also ist ihr Richtungsvektor der Normalenvektor der Ebene. Außerdem soll sie durch gehen; als Aufpunkt kann man verwenden, als Stützvektor also .
- Schnittpunkt von der Geraden mit der Ebene bestimmen: Dazu wird die Gerade (genauer: der "allgemeine Geradenpunkt") in die Ebenengleichung eingesetzt.
Dieser Wert wird nun in die Geradengleichung eingesetzt, um zu erhalten. also ist .
- Vektor berechnen:
- Spiegelpunkt P' berechnen: , also .
Alternative Berechnung der Spiegelung eines Punktes an einer Ebene
Die Ebene ist durch gegeben.
Setze den gegebenen Punkt in die Ebenengleichung ein und berechne die Zahl :
Der Spiegelpunkt liegt dann in der Ebene (siehe Spiegelung Ebene an Ebene)
Die Verbindung der Punkte und steht senkrecht auf der Ebene .
Damit ist .
Zur Berechnung des Spiegelpunktes muss der Parameter berechnet werden:
Setze in ein:
Setze ein.
Löse die Klammer auf.
Die Gleichung lautet nun:
Setze in ein:
Setze ein.
Umformung: -d_1
Klammere auf der rechten Seite aus.
Umformung: :\vec n\circ \vec n
Mit diesem Parameter wird der Spiegelpunkt berechnet:
Beispiel
Gegeben sind der Punkt und die Ebene . Spiegele den Punkt an der Ebene .
Die Ebenengleichung liefert den Normalenvektor und .
1. Setze den gegebenen Punkt in die Ebenengleichung ein und berechne die Zahl :
2. Berechne :
3. Berechne den Parameter mit , und :
4. Berechne :
Antwort: Der Spiegelpunkt hat die Koordinaten .
Grafische Darstellung
