Die Enden eines Seils werden an zwei vertikalen Masten, die voneinander entfernt sind, in gleicher Höhe über dem Erdboden befestigt. Der Graph aus Aufgabe 1 beschreibt im Bereich modellhaft den Verlauf des Seils, wobei die Fußpunkte und der Masten durch die Punkte bzw. dargestellt werden (vgl. Abbildung). Eine Längeneinheit im Koordinatensystem entspricht einem Meter in der Realität.
Der Höhenunterschied zwischen den Aufhängepunkten und dem tiefsten Punkt des Seils wird als Durchhang bezeichnet. Berechnen Sie auf der Grundlage des Modells den Durchhang des Seils auf Zentimeter genau. (2 BE)
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Berechnung des Durchhangs
In der Abbildung kann man erkennen, dass der tiefste Punkt des Seils bei liegt. Du musst also die Differenz berechnen. Aus Aufgabe 1 weißt du bereits:
Beachte hierbei, dass du auf zwei Dezimalen runden musst, wenn du eine Länge in Meter auf Zentimeter genau angeben sollst.
Länge des Durchhangs:
Die Länge des Durchhangs beträgt also und .
Berechnen Sie auf der Grundlage des Modells die Größe des Winkels, den das Seil mit Mast 2 im Aufhängepunkt einschließt, sowie mithilfe der Kurvenlänge aus Aufgabe 1h die Länge des zwischen den Masten hängenden Seils auf Zentimeter genau. (5 BE)
Der Graph von soll durch eine Parabel näherungsweise dargestellt werden. Dazu wird die in definierte quadratische Funktion betrachtet, deren Graph den Scheitelpunkt hat und durch den Punkt verläuft.
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Berechnung des Winkels
Um den Winkel zwischen dem Seil und dem Mast 2 auszurechnen, benötigst du zunächst die Tangente im Aufhängepunkt . Daraufhin kannst du im Steigungsdreieck mithilfe von trigonometrischen Funktionen den Winkel berechnen (siehe Abbildung). Da wir nur das Steigungsdreieck betrachten genügt es die Steigung der Tangente (also den Wert der Ableitung in dem Aufhängepunkt) zu bestimmen. Die Ableitungsfunktion hast du bereits in Aufgabe 1c bestimmt:
Bestimmung der Tangentensteigung im Aufhängepunkt:
Rechne aber am besten mit dem ungerundeten Ergebnis weiter!
Du siehst nun in der Abbildung, dass du mit dem Steigungsdreieck ein rechtwinkliges Dreieck hast. Von diesem kennst du bereits zwei Seiten, die Gegenkathete und die Ankathete des gesuchten Winkels. Mithilfe der Formel kannst du zunächst den Tangens der Winkels und dann über die Umkehrfunktion des Tangens den gesuchten Winkel berechnen.
Die Umkehrfunktion des Tangens kannst du bei deinem Taschenrechner mit der Taste aufrufen.
Achte hierbei auch darauf, dass dein Taschenrechner auf Gradmaß und nicht auf Bogenmaß eingestellt ist!
Im Folgenden werden wir den gesuchten Winkel mit bezeichnen.
Die Formel für den Tangens:
Berechnung des Winkels mithilfe der Umkehrfunktion des Tangens:
Das Seil schließt mit dem Mast im Aufhängepunkt 2 einen Winkel von ca. ein.
Berechnung der Seillänge
Aus Aufgabe 1h hast du bereits die Formel . Außerdem siehst du, dass der Graph achsensymmetrisch zur -Achse ist. Also kannst du statt der Länge zwischen den beiden Masten auch die Länge von einem Mast bis zum Tiefpunkt berechnen und diese dann verdoppeln:
Beachte, dass du wieder auf zwei Nachkommastellen runden musst.
Länge des Seils in Meter:
Die Länge des Seils zwischen den beiden Masten beträgt und .
Ermitteln Sie den Term der Funktion , ohne dabei zu runden. (4 BE)
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Quadratische Funktion erstellen
Wenn du dich noch an die Scheitelpunktform erinnerst, nimmst du bei einem angegebenen Scheitelpunkt am besten diese Form und setzt den Scheitel ein.
Du findest heraus, indem du den gegebenen Punkt berechnest, einsetzt und nach auflöst.
Also liegt der Punkt bei .
Setze alle Werte ein, damit du eine vollständige quadratische Funktion erhältst.
Falls du dich nicht mehr an die Scheitelform erinnerst, könntest du auch die allgemeine quadratische Funktionsgleichung verwenden.
Dann verwendest du die folgenden Informationen:
Die Funktion verläuft durch den Punkt , also wie im ersten Lösungweg berechnet, durch . Diese Information setzt du in die Funktionsgleichung ein:
Außerdem weißt du, dass die Funktion durch den Scheitelpunkt läuft und setzt auch diese Info in ein:
Das heißt, du kennst bereits eine der drei Unbekannten. Um die anderen beiden berechnen zu können, brauchst du noch eine weitere Gleichung. Dafür kannst du dir überlegen, welche besondere Eigenschaft die Ableitung hat.
Am Scheitel befindet sich eine waagrechte Tangente, also ist die erste Ableitung an dieser Stelle . Leite also ab und setze für die Ableitung gleich .
Jetzt kannst du und in die erste Gleichung einsetzen und ausrechnen.
Schließlich kannst du alle Parameter in einsetzen:
Für jedes wird der Abstand der vertikal übereinander liegenden Punkte und der Graphen von bzw betrachtet, wobei in diesem Bereich gilt. Der größte dieser Abstände ist ein Maß dafür, wie gut die Parabel den Graphen im Bereich annähert. Beschreiben Sie die wesentlichen Schritte, mithilfe derer man diesen größten Abstand rechnerisch bestimmen kann. (3 BE)
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Den Abstand zwischen zwei Funktionen bestimmst du, indem du die beiden Funktionen ganz einfach voneinander abziehst. Anschließend bekommst du daraus eine neue Funktion. Diese Funktion kannst du ableiten und das Maximum berechnen, indem du die Ableitung Null setzt. (Hierbei musst du darauf achten, dass sich das Maximum in dem angegebenen Intervall liegt.) Wenn du dann noch die zweite Ableitung ausrechnest, hast du bewiesen, dass es sich bei dem Extrempunkt aus der ersten Ableitung auf jeden Fall um ein Maximum und nicht um ein Terrassenpunkt handelt.
Schritte:
- Funktionen voneinander abziehen. von abziehen, da in diesem Intervall gilt ()
- Ableitung der neuen Funktion bilden und Null setzen
- Extrempunkt herausfinden (sollte im Intervall liegen)
- Zweite Ableitung bilden und Extrempunkt (Maximum) bestätigen