Zwei Würfel, auf deren Seiten 3 Mal die eins und 3 Mal die Zahl zwei vorkommt, werden geworfen. Die Zufallsgröße soll die Augensumme beschreiben und die Zufallsgröße das Produkt der Augenzahlen.
Gib die Wahrscheinlichkeitsverteilungen von und an.
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1. Zur Zufallsgröße :
Um die Wahrscheinlichkeitsverteilung der Zufallsgröße zu bestimmen, überlege dir erst, welche Werte überhaupt annehmen kann. Die Augenzahl der beiden Würfel kann den Wert 2,3 und 4 annehmen. Berechne dann die Wahrscheinlichkeiten:
P(X=2)=
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Damit die Augensumme 2 herauskommt, gibt es nur eine Möglichkeit: Beide Würfel müssen eine 1 zeigen. Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Würfel eine 1 zeigt, ist , deswegen ist .
P(X=3)=
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Damit die Augensumme 3 herauskommt, gibt es zwei Möglichkeiten, ein Würfel muss die 1 und ein Würfel muss die 2 zeigen, aber man kann die Würfel noch vertauschen; also ist .
P(X=4)=
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Hierfür gibt es wieder nur eine Möglichkeit: Beide Würfel müssen die Augenzahl 2 zeigen, also ist die Wahrscheinlichkeit .
2. Zur Zufallsgröße :
Überlege dir wieder welche Werte überhaupt annehmen kann. kann nur die Werte 1,2 und 4 annehmen.
Berechne dann die Wahrscheinlichkeiten:
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Damit das Produkt der beiden Würfel 1 ergibt, müssen beide Würfel eine 1 aufzeigen, wofür die Wahrscheinlichkeit ist.
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Damit das Produkt der Augenzahlen zwei ergibt, muss ein Würfel eine 1 zeigen und der andere eine 2. Die Würfel dürfen aber noch vertauscht werden, also gibt es zwei Möglichkeiten dafür, dass .
P(Y=4)=
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Damit das Produkt der Augenzahlen 4 ergibt, müssen beide Würfel eine zwei zeigen. Es gibt also eine Möglichkeit dafür, dass .
Die Wahrscheinlichkeitsverteilung von sieht also so aus:
k | 1 | 2 | 4 |
|---|---|---|---|
P(Y=k) | 1/4 | 1/2 | 1/4 |
Berechne die Erwartungswerte der beiden Zufallsvariablen.
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Der Erwartungswert der Zufallsvariable berechnet sich aus der Wahrscheinlichkeitsverteilung:
Der Erwartungswert der Zufallsvariable lässt sich genauso berechnen:
Berechne Varianz und Standardabweichung der beiden Zufallsvariablen.
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Auch die Varianz lässt sich aus der Wahrscheinlichkeitsverteilung berechnen:
Zuerst berechnet man
Also ist die Varianz von :
Die Standardabweichung ist dann .
Die Varianz von berechnet sich ebenso:
Also ist die Varianz von :
Die Standardabweichung ist dann .