In einer Großstadt steht die Wahl des Oberbürgermeisters bevor. der Wahlberechtigten sind Jungwähler, d. h. Personen im Alter von 18 bis 24 Jahren. Vor Beginn des Wahlkampfs wird eine repräsentative Umfrage unter den Wahlberechtigten durchgeführt. Der Umfrage zufolge haben sich der befragten Wahlberechtigten bereits für einen Kandidaten entschieden. Jeder Siebte derjenigen Befragten, die sich noch nicht für einen Kandidaten entschieden haben, ist Jungwähler.
Betrachtet werden folgende Ereignisse:
J: „Eine aus den Befragten zufällig ausgewählte Person ist Jungwähler.“
K: „Eine aus den Befragten zufällig ausgewählte Person hat sich bereits für einen Kandidaten entschieden.“
Erstellen Sie zu dem beschriebenen Sachzusammenhang eine vollständig ausgefüllte Vierfeldertafel.
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Aus der Angabe können folgende Werte entnommen werden:
Berechne zunächst und .
Nun kannst du die restlichen Werte berechnen und die Ergebnisse in eine Vierfeldertafel eintragen.
Zeigen Sie, dass git. Begründen Sie, dass es trotz der Gültigkeit dieser Ungleichung nicht sinnvoll ist, sich im Wahlkampf vorwiegend auf die Jungwähler zu konzentrieren.
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Berechne mit Hilfe der Ergebnisse aus Teilaufgabe a) und der bedingten Wahrscheinlichkeit die Wahrscheinlichkeit :
Setze die Werte ein und vereinfache.
Berechne nun die Wahrscheinlichkeit .
Damit folgt die behauptete Ungleichung .
Die Wahrscheinlichkeit, dass wenn ein beliebiger Jungwähler angesprochen wird sich dieser noch nicht für einen Kandidaten entschieden hat, ist also höher als wenn ein älterer Wähler angesprochen wird. Trotzdem ist es nicht sinnvoll sich im Wahlkampf hauptsächlich auf Jungwähler zu konzentrieren, da ihr Anteil nur ist, während der Anteil der unentschlossenen älteren Wähler ist.
Der Kandidat der Partei A spricht an einem Tag während seines Wahlkampfs 48 zufällig ausgewählte Wahlberechtigte an. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass sich darunter genau sechs Jungwähler befinden.
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Es werden insgesamt 48 Wahlberechtigte angesprochen. Bezeichne mit die Anzahl der angesprochenen Jungwähler. Die Wahrscheinlichkeit, dass genau 6 Jungwähler angesprochen werden, kann somit mithilfe der Binomialverteilung bestimmt werden, wobei und .
Rechne aus.
Die gesuchte Wahrscheinlichkeit beträgt also .