Der Umfang zufolge hätte der Kandidat der Partei A etwa aller Stimmen erhalten, wenn die Wahl zum Zeitpunkt der Befragung stattgefunden hätte. Ein Erfolg im ersten Wahlgang, für den mehr als aller Stimmen erforderlich sind, ist demnach fraglich. Deshalb rät die von Partei A eingesetzte Wahlkampfberaterin in der Endphase des Wahlkampfs zu einer zusätzlichen Kampfberaterin in der Endphase des Wahlkampfs zu einer zusätzlichen Kampagne. Der Schatzmeister der Partei A möchte die hohen Kosten, die mit einer zusätzlichen Kampagne verbunden wären, jedoch möglichst vermeiden.
Um zu einer Entscheidung über die Durchführung einer zusätzlichen Kampagne zu gelangen, soll die Nullhypothese „Der Kandidat der Partei A würde gegenwärtig höchstens aller Stimmen erhalten." mithilfe einer Stichprobe von 200 Wahlberechtigten auf einem Signifikanzniveau von getestet werden. Bestimmen Sie die zugehörige Entscheidungsregel.
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Gegeben ist die Nullhypothese bei einer Stichprobe von . Entsprechend ist die Gegenhypothese . Die Nullhypothese wird somit bei allen Ergebnissen, die kleiner gleich als der Wert k sind, den die Entscheidungsregel angibt, angenommen und bei allen Werten, die größer als k sind verworfen. Es wird auf einem Signifikanzniveau von getestet, dies bedeutet, dass der Fehler 1. Art kleiner gleich als sein soll. Bezeichne mit die Anzahl der Befragten, die angeben für den Kandidaten von Partei A zu stimmen. Die Angaben sind in der folgenden Tabelle nochmal in übersichtlicher Form dargestellt:
wird angenommen | wird angenommen( wird verworfen) | |
|---|---|---|
Fehler 1.Art | ||
Bestimme nun die Entscheidungsregel. Schreibe dazu die Wahrscheinlichkeit des Fehlers 1.Art als Gleichung:
Schreibe die Wahrscheinlichkeit in Form des Gegenereignisses, sodass die Wahrscheinlichkeit aus dem Tafelwerk der Stochastik abgelesen werden kann.
Stelle die Gleichung um.
Bestimme den kleinsten -Wert, sodass die Wahrscheinlichkeit gerade noch über 0,95 liegt.
Die Entscheidungsregel lautet also wie folgt: Bei 112 oder weniger Befragten, die den Kandidaten von Partei A wählen, wird die Nullhypothese angenommen, bei 113 oder mehr wird sie verworfen.
Begründen Sie, dass die Wahl der Nullhypothese für den beschriebenen Test in Einklang mit dem Anliegen der Wahlkampfberaterin steht, einen Erfolg bereits im ersten Wahlgang zu erreichen.