Taylorentwicklung
Im Gegensatz zur Schulmathematik, bei der meist nur die ersten drei Ableitungen nützlich sind, gibt es auch Anwendungsgebiete in der Mathematik, bei denen du beliebig viele Ableitungen brauchen kannst. Eine solche Anwendung ist die sogenannte Taylorentwicklung von Funktionen, die du in dieser Aufgabe kennenlernst.
Sei eine Funktion , sowie eine Funktionenschar mit maximalen Definitionsbereichen gegeben. Außerdem seien die folgenden Funktionen der Schar bekannt:
Zeige, dass für die gegebenen Scharfunktionen
gilt, wobei die -te Ableitung am Punkt ist und die Fakultät von angibt.
Die Funktion wird auch das -te Taylorpolynom an der Entwicklungsstelle genannt und man schreibt .
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Setze für die gegebenen Scharfunktionen die Parameter ein und rechne die Summe aus.
Die Funktionsterme stimmen überein.
Gib den Funktionsterm von an.
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Für den Funktionsterm von benötigst du zusätzlich zu den Term von noch die Summanden für und . Für die gilt:
damit erhältst du für den gesuchten Term
In der folgenden Abbildung siehst du die Graphen der Funktionen und . Beschreibe die Abbildung und erläutere das Verhalten der Taylorpolynome für .
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Für wachsende schmiegen sich die Graphen von in einem immer größer werdenden Intervall um die 0 an den Graph von an. Du kannst vermuten, dass für die Taylorreihe mit der Funktion identisch ist.
Wie sieht die Taylorentwicklung an der Entwicklungsstelle für die Funktion aus? Gib den Term des -ten Taylorpolynoms an oder beschreibe dessen Aussehen.
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Nutze die Formel aus Teilaufgabe a) für die ersten Summanden:
Das -te Taylorpolynom ist eine Summe von aufsteigenden -Potenzen, jeweils dividiert durch die Fakultät des Exponenten.
Gib die Taylorentwicklung der Funktion an der Entwicklungsstelle konkret an.
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Nutze wieder die Formel aus Teilaufgabe a):
Da ab alle -ten Ableitungen gleich 0 sind folgen nur noch Nuller als Summanden. Du erhältst als Lösung:
Die Taylorreihe ist also identisch mit der Ausgangsfunktion!