Die Fußballvereine aus Vilsbiburg, Seyboldsdorf, Frontenhausen und Geisenhausen tragen ein Turnier aus, bei dem jeder Verein gegen jeden anderen Verein genau einmal spielt. Jeder Verein erhält für einen Sieg drei Punkte, für ein Unentschieden einen Punkt und für eine Niederlage keinen Punkt.
Wie viele Punkte können bei den sechs Spielen des Turniers insgesamt vergeben werden?
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Insgesamt gibt es vier Mannschaften. Jede Mannschaft soll gegen jede andere Mannschaft spielen, d.h. jede Mannschaft macht Spiele. Da es vier Mannschaften gibt, ergeben sich Spiele. Da jedoch in jedem Spiel Mannschaften aufeinander treffen, wurden bei dieser Rechnung die Spiele doppelt gezählt, d.h. insgesamt gibt es Spiele.
Alternative Berechnung 1
Es gibt Mannschaften. Gib ihnen Nummern von bis .
Mannschaft spielt gegen Mannschaften , hat also Spiele.
Mannschaft muss nur noch gegen Mannschaften und 4 spielen, da sie ja bereits gegen Mannschaft gespielt hat. Das ergibt zwei zusätzliche Spiele.
Mannschaft muss also nur noch gegen Mannschaft spielen. ein zusätzliches Spiel
Mannschaft hat jetzt schon gegen die drei anderen Mannschaften gespielt. kein weiteres Spiel
Spiele
Alternative Berechnung 2
Ziehe zwei Nummern aus einer Urne mit vier Nummern, ohne zurückzulegen und ohne die Reihenfolge zu beachten. Aus der Tabelle in Kombinatorik ergibt sich folgende Rechnung:
Um die Gesamtpunktevergabe angeben zu können, muss betrachtet werden, wie viele der Spiele unentschieden ausgehen. Beachte, dass bei einem Sieg Punkte (für die Siegermannschaft) und bei einem Unentschieden Punkte (je einen für jede Mannschaft) vergeben werden.
Unentschieden | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
Punkte |
Bei dem Turnier erhielt Vilsbiburg sieben Punkte, Seyboldsdorf fünf Punkte, Frontenhausen drei Punkte und Geisenhausen einen Punkt. Wie endeten die einzelnen Spiele (nur Sieg bzw. Unentschieden)?
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Schreibe die Angabe in eine Tabelle:
Verein | Punkte |
|---|---|
Vilsbiburg | 7 Punkte |
Seyboldsdorf | 5 Punkte |
Frontenhausen | 3 Punkte |
Geisenhausen | 1 Punkte |
Mache folgende Überlegung: Vilsbiburg hat Punkte, d.h. 2-mal gewonnen und 1-mal unentschieden gespielt. Seyboldsdorf hat Punkte, d.h. 1-mal gewonnen und 2-mal unentschieden gespielt.
Da also weder Vilsbiburg, noch Seyboldsdorf verloren haben, müssen sie gegeneinander unentschieden gespielt haben!
Damit folgt, dass Vilsbiburg die anderen Spiele gegen Frontenhausen und Geisenhausen gewonnen hat.
Da Frontenhausen nun bereits gegen Vilsbiburg verloren hat, muss es seine Punkte durch einen Sieg erreicht haben (und nicht durch Unentschieden).
Da Seyboldsdorf und Vilsbiburg kein Spiel verloren haben, muss Frontenhausen gegen Geisenhausen gewonnen haben.
Damit hat Seyboldsdof gegen Frontenhausen gewonnen.
Es verbleibt noch ein Unentscheiden zwischen Geisenhausen und Seyboldsdorf (da Geisenhausen Punkt hat).
Das Ergebnis ist noch einmal in der folgenden Tabelle verdeutlicht:
Verein | Punkte | Verein | Punkte |
|---|---|---|---|
Vilsbiburg | 1 | Seyboldsdorf | 1 |
Vilsbiburg | 3 | Frontenhausen | 0 |
Vilsbiburg | 3 | Geisenhausen | 0 |
Frontenhausen | 3 | Geisenhausen | 0 |
Seyboldsdorf | 3 | Frontenhausen | 0 |
Geisenhausen | 1 | Seyboldsdorf | 1 |