Gegeben sind der Punkt und die Ebene
.
Gesucht ist der Abstand des Punktes von der Ebene .
Gib auch den Lotfußpunkt an.
Hinweis: Verwende bei der Lösung dieser Aufgabe das Lotfußpunktverfahren.
Lösung anzeigen
Erstelle die Gleichung einer Geraden , die senkrecht zur Ebene steht und durch den Punkt verläuft. Dabei ist der Normalenvektor der Ebene gleich dem Richtungsvektor der Geraden und der Punkt liefert den Aufpunkt (Stützvektor) der Geraden . Der Schnittpunkt von und ergibt den Lotfußpunkt .
1. Erstelle die Gleichung der Lotgeraden .
Der Normalenvektor der Ebene ist der Richtungsvektor und der Punkt ist der Aufpunkt der Geraden . (Der Vektor heißt auch Stützvektor der Geraden.)
Lotgerade
2. Berechne den Schnittpunkt zwischen der Geraden und der Ebene :
Klammern auflösen
Terme zusammenfassen
Umformung: -26
Umformung: :9
Setze in die Geradengleichung ein, um den Lotfußpunkt zu berechnen:
Der Lotfußpunkt hat die Koordinaten: .
3. Berechne den Vektor
4. Berechne den gesuchten Abstand als Länge des Lotvektors :
Antwort: Der Punkt hat von der Ebene den Abstand und der Lotfußpunkt hat die Koordinaten .
Zusätzliche Visualisierung
