Gegeben sind der Punkt und die Gerade
.
Berechne den Abstand des Punktes von der Geraden . Gib außerdem den Lotfußpunkt an.
Hinweis: Verwende bei der Lösung dieser Aufgabe eine zu orthogonale Hilfsebene, die den Punkt enthält.
Lösung anzeigen
1. Erstelle die Normalenform der Hilfsebene .
Dabei ist der Richtungsvektor der Geraden und für setzt du den Ortsvektor, der zum Punkt gehört ein:
2. Berechne den Schnittpunkt der Geraden mit der Ebene :
Fasse die beiden Vektoren in den eckigen Klammern zusammen.
Berechne zunächst das Skalarprodukt :
Multipliziere nun die Klammern mit Hilfe des Distributivgesetzes aus:
mit der Lösung .
Berechne den Lotfußpunkt : Setze dazu in die Geradengleichung ein:
.
Der Lotfußpunkt hat die Koordinaten: .
3. Berechne den Lotvektor: .
Berechne den gesuchten Abstand als Länge des Lotvektors :
Antwort: Der Punkt hat von der Geraden den Abstand und der Lotfußpunkt hat die Koordinaten .
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