Die Quantoren und heißen Existenz- und Allquantor. Sie sind Operatoren und werden in der Logik, bzw. damit einhergehend Mathematik, verwendet, um Aussagen zu formulieren.
Allquantor, Existenzquantor und dessen Varianten
: Dieser Quantor heißt „Es gibt (mindestens eins)“.
Beispiel
eine natürliche Zahl, die größer ist
Entspricht: Es gibt mindestens eine natürliche Zahl, die größer ist.
: Dieser Quantor heißt „Es gibt kein“.
Beispiel
natürliche Zahl zwischen und
Entspricht: Es gibt keine natürliche Zahl zwischen und .
: Dieser Quantor heißt: „Es gibt genau ein“.
Beispiel
rationale Zahl , sodass .
Entspricht: Es gibt genau eine rationale Zahl, sodass deren Produkt mit gleich ergibt.
: Dieser Quantor heißt „Für alle“.
Beispiel
Entspricht: Für alle .
Weitere Beispiele
Beispiel 1:
und Primzahl
Lösung
Für alle natürlichen Zahlen gibt es eine natürliche Zahl , die größer als ist und eine Primzahl ist
Beispiel 2
In jeder deutschen Stadt gibt es einen Bürger, der ein Haus besitzt
Lösung
Verhalten der Quantoren bei Negation
Aussagen, wie z. B. „Für alle Elemente einer Menge gibt es ein Element , sodass “, können in Quantorenschreibweise dargestellt werden:
Diese Aussage, nennen wir sie , kann negiert werden. Damit ist
Die Negation „Es gibt ein Element für alle sodass “, ist das genaue Gegenteil der oberen Aussage: Erst wieder behauptet, jedes Element könne überboten werden durch ein und nun gibt es ein , welches größer (gleich) ist als (wie) alle .
Die Regeln für das Negieren einer Aussage (neben der Umkehrung der letzten Gleichung) lauten:
Die Operatoren werden sozusagen ausgetauscht.