Der Schweizer Künstler Eugen Jost hat ein Bild gemalt, in dem lauter ineinander geschachtelte Quadrate dargestellt sind. Das Bild oben verdeutlicht dies.
Erkläre, wie Eugen Jost die Quadrate aufgebaut hat.
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Die Seitenmittelpunkte des großen Quadrates liefern ein Quadrat, das um gedreht worden ist. Die Seitenmittelpunkte dieses Quadrates liefern wiederum ein kleineres Quadrat, dessen Seitenmittelpunkte erneut ein noch kleineres Quadrat erzeugen usw. Das Ganze "verschwindet" schließlich im Zentrum der Figur.
Eine chinesische Spruchweisheit lautet: "Das Unendliche ist ein Quadrat ohne Ecken." Erkläre den Zusammenhang zwischen dieser Aussage und dem Bild.
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Die Eckpunkte der immer kleiner werdenden Quadrate rücken näher und näher zusammen, bis sie sich nicht mehr voneinander unterscheiden lassen. Somit entsteht im Unendlichen ein "Quadrat ohne Ecken".
In der obigen Darstellung sind einige Dreiecke nochmals farbig herausgehoben, die sich im Uhrzeigersinn spiralförmig in das Zentrum Z des Quadrates hineinwinden. Die Spirale beginnt mit dem Dreieck .
Welche gemeinsame Besonderheiten weisen diese Dreiecke in der Spirale auf?
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Diese Dreiecke sind alle gleichschenklig-rechtwinklig.
Welchen Bruchteil des Flächeninhaltes des Quadrates nimmt das Dreieck ein? Wie viel Prozent sind das?
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Das Dreieck nimmt des Flächeninhaltes des Quadrates ein.
Begründe: Der Flächeninhalt des Dreiecks ist halb so groß wie der des Dreiecks . Betrachte dazu die gestrichelte Hilfslinie [].
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Das Viereck ist ein Parallelogramm. Die Diagonale zerlegt dieses Parallelogramm in zwei kongruente gleichschenklig-rechtwinklige Dreiecke. Die Strecke [] zerlegt das Dreieck ebenfalls in zwei kongruente gleichschenklig-rechtwinklige Dreiecke.
Also gilt:
Zeichne das Quadrat mit einer Seitenlänge von . Übertrage das Dreieck in der richtigen Position. Begründe: Alle Dreiecke in der Spirale des Bildes lassen sich lückenlos in dem Quadrat unterbringen.
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Das Viereck ist ein Quadrat. Das Dreieck lässt sich also mit dem Dreieck zur Deckung bringen. Das Dreieck, das dem Dreieck unmittelbar in der Spirale folgt, ist zum Dreieck kongruent. Sein Nachfolger in der Spirale deckt sich mit dem Dreieck , dessen Nachfolger in der Spirale deckt sich mit dem Dreieck usw. So wird das Dreieck nach und nach lückenlos mit Nachfolgern in der Spirale aufgefüllt.
Begründe: Der Flächeninhalt aller Dreiecke in der Spirale ergibt zusammen ein Viertel des Flächeninhaltes des Quadrates ABCD.
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Mit allen Dreiecken aus der Spirale lässt sich das Quadrat lückenlos füllen. Dieses Quadrat bedeckt des Quadrates ABCD.
Was ergibt ?
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Da muss man nur noch das hinzugefügte und wieder abziehen.