Im Quadrat sind die getönten Dreiecke , . . . und die ”weißen“ Dreiecke , zu sehen.
Welche gemeinsame Besonderheiten besitzen alle diese Dreiecke?
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Alle diese Dreiecke sind gleichschenklig-rechtwinklig.
Welchen Bruchteil der Quadratfläche nimmt das getönte Dreieck ein?
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Welcher Zusammenhang besteht zwischen dem Flächeninhalt des Dreiecks (1) und dem Flächeninhalt des Dreiecks ? Begründe.
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Begründung:
Die Diagonalen [] und [] zerlegen das Quadrat in vier kongruente Teildreiecke, wovon eines das Teildreieck ist. Das Dreieck ist aus zwei dieser Teildreiecke zusammengesetzt. Also ist das Dreieck halb so groß wie das Teildreieck .
Welchen Bruchteil der Quadratfläche nehmen die beiden getönten Dreiecke und zusammen ein? Wie viel Prozent sind das?
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Welcher Zusammenhang besteht zwischen dem Flächeninhalt eines dieser immer kleiner werdenden getönten Dreiecke und seinem jeweiligen Vorgänger? Begründe deine Antwort anhand der Dreiecke .
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Es wurde schon gezeigt, dass gilt.
Die Dreiecke (= Dreieck ), und Dreieck sind kongruent.
Also gilt .
Am oben liegenden Quadrat mit der Seitenlänge [] erkennst du: und die Dreiecke und sind kongruent.
Insgesamt gilt: Jedes getönte Dreieck ist halb so groß wie sein Vorgänger. Jedes getönte Dreieck hat einen kongruenten Partner unter den Dreiecken . Jedes der Dreiecke . hat einen kongruenten Partner in den getönten.
Welchen Bruchteil der Fläche des Quadrates nimmt das getönte Dreieck ein?
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Wie groß sind alle getönten Dreiecke zusammen?
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Aus der Zeichnung erkennst du: Alle Dreiecke von angefangen bis ins unendlich kleinste ergeben das vollständige Quadrat .
Was ergibt ?
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Was ergibt ?
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Da muss man nur noch das hinzugefügte wieder abziehen.