Ein Pharmainstitut behauptet, ein bestimmtes Medikament wirke mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens . Daraufhin wird das Medikament an Personen verabreicht.
In der ersten Testreihe zeigt das Mittel bei der Personen Wirkung. Ist damit die Behauptung des Pharmainstituts auf dem Signifikanzniveau von bewiesen?
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Berachte zunächst den Aufbau des Tests.
Formuliere dazu die Nullhypothese . (Was ist die Nullhypothese?)
Die Nullhypothese wird so gewählt, dass das, was man selbst beweisen will, in der Gegenhypothese steht. Das Pharmainstitut versucht natürlich zu beweisen, dass das Medikament gut ist.
Formuliere nun die Gegenhypothese .
Die Nullhypothese ist dann also das Gegenteil: : , was bedeutet, dass das Medikament mit einer geringeren Wahrscheinlichkeit als wirkt.
Die Gegenhypothese ist : , also dass das Medikament mit einer Wahrscheinlichkeit von über wirkt.
Formuliere den Fehler 1. Art als Gleichung. (Die Wahrscheinlichkeit, dass das Medikament bei 50 Personen bei einer Wirksamkeitswahrscheinlichkeit von bei mehr Personen wirkt, als die Entscheidungsregel k angibt, soll höchstens betragen)
Eine Übersicht über die Angaben findet sich in der folgenden Tabelle:
Formuliere den Term so um, dass man den Wert in der Tabelle finden kann.
Umformung: -1
Umformung: \cdot(-1)
Dabei dreht sich das Ungleichheitszeichen um.
Suche in den Tabellen den kleinsten Wert k-1 bei den kumulativen Wahrscheinlichkeitsverteilungen ( ) für den der Wert gerade noch größer als ist.
Tabellenwerk liefert:
;
;
Formuliere die Entscheidungsregel anhand dieses Wertes.
Die Nullhypothese wird also bei oder weniger Treffern im Test, also Personen bei denen das Medikament wirkt, angenommen und bei oder mehr abgelehnt.
Im Test wirkte das Medikament bei Personen, das liegt im für das Pharmainstitut günstigen Ablehnungsbereich.
Das Ergebnis der Testreihe ist damit signifikant bewiesen.
Einige Zeit, nachdem das neue Medikament zugelassen ist, bekommt der angesehene Medizinprofessor Dr. Zweifel den Verdacht, das Pharmainstitut habe die Studie gefälscht und das Mittel wirke doch nicht so gut wie behauptet. Er lässt daraufhin erneut einen Test an Personen durchführen. Formuliere für Professor Zweifels Test Nullhypothese und Gegenhypothese. Wie muss seine Entscheidungsregel lauten, wenn er seine Vermutung auf dem Signifikanzniveau von belegen will?
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Formuliere die Nullhypothese . (Was ist die Nullhypothese?)
Die Nullhypothese wird so gewählt, dass das was man selbst beweisen will in der Gegenhypothese steht. Hier wird versucht zu überprüfen, ob das Medikament nicht doch schlechter wirkt, als behauptet.
Die Nullhypothese ist : , also dass das Medikament mit 80% Wahrscheinlichkeit oder mehr wirkt.
Formuliere die Gegenhypothese .
Die Gegenhypothese ist : , also dass das Medikament mit einer geringeren Wahrscheinlichkeit als wirkt.
Formuliere den Fehler erster Art als Gleichung. (Die Wahrscheinlichkeit, dass das Medikament bei Personen bei einer Wirksamkeitswahrscheinlichkeit von bei weniger Personen wirkt, als die Entscheidungsregel k angibt, soll höchstens betragen)
Eine Übersicht über die Angaben findet sich in der folgenden Tabelle:
Suche in den Tabellen den größten Wert k bei den kumulativen Wahrscheinlichkeitsverteilungen ( ) für den der Wert gerade noch kleiner als ist.
Tabellenwerk liefert:
;
Formuliere die Entscheidungsregel anhand dieses Wertes und damit die Lösung.
Die Nullhypothese wird bei oder weniger Patienten, bei denen das Medikament wirkt, abgelehnt und demnach bei oder mehr Patienten angenommen.