Aufgrund von Kundenanfragen und da der Großhändler ein günstiges Angebot für Rotklee erhalten hat, will er in Zukunft eine Kleemischung aus Weißklee (W) und Rotklee (R) anbieten. Laut dem Samenproduzenten liegt die Wahrscheinlichkeit, dass ein Samenkorn vom Weißklee keimt, bei 92,5 %. Die Keimwahrscheinlichkeit der Rotkleesamen liegt bei 80 %.
Ermitteln Sie mithilfe eines Baumdiagramms, in welchem Verhältnis der Großhändler Weiß- und Rotkleesamen mischen muss, damit die Keimwahrscheinlichkeit P(K) der Mischung bei 85 %liegt.
Lösung anzeigen
Man zeichnet ein Baumdiagramm mit zwei Stufen.
In der ersten Stufe unterscheidet man die Ereignisse Rotklee und Weißklee .
Die Wahrscheinlichkeiten sind und .
In der zweiten Stufe wird zwischen "keimen" und "nicht keimen" unterschieden.
Es gilt: und .
Da die Keimwahrscheinlichkeit der Mischung bei % liegen soll, gilt:
Der Großhändler muss Rotklee mit Weißklee mischen, damit die Mischung eine Keimwahrscheinlichkeit von hat.
Ein Landwirt kauft einen Sack der neuen Kleemischung, welche zu 85 % keimt, und sät 200 Samenkörner auf einem kleinen frischgepflügten Teil einer seiner Wiesen aus. Die Zufallsgröße Y gibt die Anzahl der keimenden Samen an. Berechnen Sie, mit welcher Wahrscheinlichkeit die Anzahl der keimenden Samen innerhalb der einfachen Standardabweichung um den Erwartungswert liegt.
Lösung anzeigen
Die Ereignisse, ob ein einzelnes Samenkorn keimt, sind unabhängig voneinander, es handelt sich also um ein Bernoulli-Experiment mit und .
Daraus errechnen wir den Erwartungswert .
Die Standardabweichung bei Bernoulli-Experimenten berechnet sich als .
Mit unseren Werte erhalten wir
.
Innerhalb der einfachen Standardabweichung liegen also die Keimzahlen von bis .
Aus dem Tabellenwerk lesen wir diese Wahlscheinlichkeiten ab:
und .
Die gesuchte Wahrscheinlichkeit ist
.