Gegeben ist die Funktion mit der Definitionsmenge . Der Graph von g in einem kartesischen Koordinatensystem wird mit bezeichnet.
Untersuchen Sie das Symmetrieverhalten des Graphen bezüglich des Koordinatensystems sowie das Verhalten der Funktionswerte von g für . Geben Sie die Gleichung der Asymptote des Graphen an.
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Man vergleicht mit und
Der Graph ist achsensymmetrisch.
Es gilt:
Die Asymptotengleichung lautet:
Berechnen Sie die Nullstellen von g. Runden Sie auf zwei Nachkommastellen.
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und
und
Man beachte, dass weil
Ermitteln Sie Art und Koordinaten des relativen Extrempunktes von . Begründen Sie, warum dieser absolut ist und geben Sie die Wertemenge der Funktion g an.
[Teilergebnis: ]
Stellen Sie die Gleichung der Tangente an an der Stelle in allgemeiner Form auf.
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Der Berührpunkt hat die Koordinaten mit .
Es ist
Die Tangente an den Graph im Berührpunkt hat die Steigung
Die allgemeine Form einer Geraden ist
Somit gilt für die Tangente
Da der Punkt auf der Tangente liegt, folgt
Also ist die Tangentengleichung
In Dezimalzahlen ist das etwa .
Art und Koordinaten des relativen Extrempunktes von können auch ohne Verwendung der Ableitungsfunktion bestimmt werden. Begründen Sie dies mithilfe bekannter Ergebnisse. Verwenden Sie dabei die Tatsache, dass nur höchstens ein Extrempunkt von existiert.
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Die Funktion ist gerade.
Die Zuordnung ist für positive streng monoton fallend. Wegen der strengen Monotonie der Exponentialfunktion gilt dies auch für und damit ist für positive streng monoton steigend und für negative streng monoton fallend.
Daher wissen wir, dass für ein Minimum haben muss und erhalten als Koordinaten des Tiefpunkts .
Zeichnen Sie unter Verwendung aller bisheriger Ergebnisse und weiterer geeigneter Funktionswerte den Graphen der Funktion g im Bereich in ein kartesisches Koordinatensystem.
Maßstab für beide Achsen: 1 LE = 1 cm
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