Ein Teilstück einer Langlaufloipe verläuft von oben betrachtet geradlinig und hat im Querschnitt das abgebildete Profil, welches annähernd durch den Graphen der Funktion mit der Definitionsmenge beschrieben werden kann. Die -Achse gibt die Länge in waagrechter Richtung an, auf der -Achse ist die Höhe über dem Meeresspiegel aufgetragen. Die Koordinaten und stellen Längenangaben in der Einheit Kilometer bzw. Meter dar.
Ermitteln Sie die maximalen Teilintervalle von , in denen die Loipe auf- bzw. abwärts verläuft.
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Um die Monotonieintervalle zu ermitteln, untersucht man das Vorzeichenverhalten der 1. Ableitung der gegebenen Funktion
Die Nullstellen der quadratischen Funktion kann man mittels quadratischer Ergänzung oder durch Probieren ermitteln.
Mögliche Nullstellen sind die Teiler des konstanten Gliedes. Also
Versuch: ist Lösung.
Somit ist auch Lösung.
Quadratische Ergänzung:
Als weitere Alternativlösung, die p-q-Formel
Hier gilt und .
Somit
Anmerkung: Hier sind drei Methoden zur Lösung einer quadratischen Gleichung angeboten. Die p-q-Formel ist wohl die bekannteste Methode. Aber immer wieder werden die Werte für und nicht richtig in die Formel eingesetzt.
Bei der Probiermethode kommt auch das Spielen mit Zahlen zum Zuge. Sie ist aber auf quadratische Gleichungen mit ganzzahligen Koeffizienten zu beschränken. Ansonsten kann man sich schnell im Probieren verlieren.
Die quadratische Ergänzung funktioniert immer.
Das Vorzeichen von wird von bestimmt. Der Graph ist eine nach oben geöffnete Parabel mit den Nullstellen und .
Damit gilt:
und damit ist monoton steigend
und damit ist monoton fallend
und damit ist monoton steigend
Berechnen Sie unter Verwendung von Teilaufgabe a), in welcher horizontalen Entfernung vom Beginn des Teilstückes der Loipe maximale Höhe erreicht wird. Geben Sie an, in welcher Höhe Sporttreibende sich am höchsten Punkt der Loipe befinden.
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Nach den Berechnungen in 1.1 liegt an der Stelle ein Maximum. Der Hochpunkt hat damkit die Koordinaten .
Ermitteln Sie, nach wie vielen Kilometern in horizontaler Entfernung vom Ausgangspunkt die Loipe am steilsten abwärts verläuft.
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Die Loipe verläuft am steilsten abwärts an der Stelle , an der die Ableitung der 1. Ableitung den kleinsten Wert hat.
Man ermittelt die Minimumstelle der 1. Ableitung .
Also .
Das Vorzeichen von wechselt an der Stelle von Minus nach Plus. Somit ist Minimumstelle von , und hier geht es am steilsten abwärts.
Bestimmen Sie die durchschnittliche Steigung der Loipe in Prozent auf den ersten drei Kilometern.
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In den ersten drei Kilometern steigt die Loipe von 800 m auf 980 m. Also steigt die Loipe um 180 m auf 3000m.
Damit ist . Das sind % Steigung.
Die Steigung der Loipe bei Kilometer 2 tritt im weiteren Verlauf der Loipe noch einmal auf. Berechnen Sie die Stelle, an der dies der Fall ist.
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Wir berechnen zunächst die Steigung bei Kilometer 2:
Jetzt bestimmen wir alle -Werte, an denen die Ableitung denselben Wert hat:
Also hat die Loipe am Kilometer dieselbe Steigung wie an Kilometer 2.