Gegeben ist die Funktion mit der Definitionsmenge . Der Graph von f in einem kartesischen Koordinatensystem wird mit bezeichnet.
Untersuchen Sie das Symmetrieverhalten des Graphen bezüglich des Koordinatensystems sowie das Verhalten der Funktionswerte von für .
Lösung anzeigen
Betrachte die Funktionsterme von und :
Somit gilt: für alle ist . Also ist der Graph von achsensymmetrisch
Da die e-Funktion im Wachstumsverhalten stärker als jede ganzrationale Funktion ist,
gilt.
Daher ist und auch .
Ermitteln Sie jeweils die Art und die Koordinaten der relativen Extrempunkte von und geben Sie die Wertemenge der Funktion f an.
[Teilergebnis: ]
Lösung anzeigen
Extrema einer differenzierbaren Funktion können an Nullstellen der 1. Ableitung liegen.
Der vorliegende Funktionsterm ist ein Produkt. Der erste Faktor ist ein Polynom, der zweite Faktor eine verkettete Funktion.
Bei ist die äußere Funktion und der Term im Exponenten die innere Funktion.
Somit gilt für die 1. Ableitung:
Nullstellen von :
Der Funktionsterm der 1. Ableitung ist ein Produkt, dessen 2. Faktor nicht Null werden kann.
Somit:
ist ein Polynom vom Grad 3 mit 3 verschiedenen Nullstellen. Somit liegen Nullstellen mit Vorzeichenwechsel vor.
Da die Exponentialfunktion immer positiv ist, ist das Vorzeichen von das Vorzeichen von .
Es gilt:
Somit:
Also
Stellen Sie die Gleichung der Tangente an an der Stelle in allgemeiner Form auf.
Lösung anzeigen
Bestimme die Tangente an an der Stelle
Der Berührpunkt hat die Koordinaten .
Eine Tangente ist eine Gerade. Die Geradengleichnung hat die Form , wobei die Steigung und der -Achsenabschnitt ist.
Es gilt:
Somit gilt für die Tangentengleichung: .
Um zu bestimmen, nutzt man aus, dass der Berührpunkt Element der Tangente ist. Die Koordinaten von müssen die Tangentengleichung erfüllen.
Damit haben wir die gesuchte Tangentengleichung berechnet.
Bestimmen Sie die Nullstellen der Funktion f und zeichnen Sie unter Verwendung aller bisherigen Ergebnisse und weiterer geeigneter Funktionswerte den Graphen von f für in ein kartesisches Koordinatensystem.
Maßstab für beide Achsen: 1 LE = 2 cm
Lösung anzeigen
Die Nullstellen von der Funktion werden durch den Faktor bestimmt, da die e-Funktion nicht Null werden kann.
Somit:
Mit Beachtung der Extrema, der Grenzwerte und Symmetrie ergibt sich:
Der Graph der Ableitungsfunktion von f und die x-Achse schließen im I. Quadranten des kartesischen Koordinatensystems im Bereich ein endliches Flächenstück ein. Berechnen Sie die Maßzahl des Flächeninhalts dieses Flächenstücks auf zwei Nachkommastellen gerundet.
Lösung anzeigen
Die 1. Ableitung hat die Nullstellen und .
Somit gilt für die Maßzahl der vom Graph und der -Achse eingeschlossenen Fläche :
Der Graph und die Koordinatenachsen schließen im IV. Quadranten ein endliches Flächenstück ein. Schätzen Sie die Maßzahl des Flächeninhalts dieses Flächenstücks geeignet ab.
Lösung anzeigen
Die Tangente aus c) und die Koordinatenachsen beschreiben ein rechtwinkliges Dreieck. Das Flächenstück, das im IV. Quadranten vom Graph und den Koordinatenachsen eingeschlossen wird, kann recht gut durch dieses Dreieck angenähert beschrieben werden.
Die Fläche des Dreiecks lässt sich mit Hilfe der Achsenabschnitte der Tangente berechnen.
-Achsenabschnitt: Nullstelle der Tangente:
-Achsenabschnitt: .
Damit ergibt sich für den Flächeninhalt des Dreiecks: