In der Abbildung sehen Sie ausschnittsweise eine Parabel. Diese ist der Graph der Ableitungsfunktion der Funktion mit der Definitionsmenge .
Leiten Sie nachvollziehbar aus dem Verlauf des Graphen der Ableitungsfunktion die Lage und Art der lokalen Extremstellen von ab. Begründen Sie, weshalb die relativen Extrempunkte des Graphen von nicht absolut sein können.
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Extrema liegen an Nullstellen der 1. Ableitung, sofern an den Nullstellen ein Vorzeichenwechsel erfolgt.
Aus der Skizze der Ableitungsfunktion liest man ab: und . Damit hat der Graph von an den Stellen und eine waagerechte Tangente.
An der Stelle hat die Funktion einen Vorzeichenwechsel von nach. Also ist hier ein Maximum von . .
An der Stelle hat die Funktion einen Vorzeichenwechsel von nach Also ist hier ein Minimum von .
Da der Graph der 1. Ableitung eine Parabel ist, ist vom Grad 2. Also ist die Funktion vom Grad 3. Da der Vorfaktor von positiv ist, gilt das auch für den Vorfaktor von in . Damit wächst der Graph mit wachsendem über jede Grenze und fällt mit fallendem unter jede Grenze.
Das können wir auch als und schreiben.
Bestimmen Sie anhand des Graphen die Lage der Wendestelle von und entscheiden Sie begründet, ob die Wendetangente des Graphen der Funktion steigt oder fällt.
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Die Wendestelle von ist mit der Extremstelle von identisch und liegt in der Mitte zwischen den Nullstellen und von . Also ist . Wegen fällt der Graph an der Wendestelle . Also fällt auch die Wendetangente.