/mathe/1907/abstand-eines-punktes-von-einer-ebene-berechnen-projektionsverfahren

Für das Projektionsverfahren muss die Ebene ggf. in die Hessesche-Normalenform

oder

umgeformt und die Koordinaten des Punktes in diese Ebenengleichung eingesetzt werden.

Dieses Vorgehen lässt sich in folgender Formel zusammenfassen:

oder

Vorgehen am Beispiel

Gesucht ist der Abstand des Punktes von der Ebene E mit der Gleichung .

1) Die Ebene liegt in Parameterform vor und muss deshalb zunächst in Hessesche-Normalenform umgeformt werden.

oder

2) Einsetzen der Koordinaten von für ergibt den gesuchten Abstand von P zu E.

oder

Der Abstand von zu beträgt also genau Längeneinheiten.

Bedeutung der Betragsstriche

Durch Weglassen der Betragsstriche (d.h. Zulassen negativer Ergebnisse) in obiger Formel für lässt sich ein sogenannter "orientierter Abstand" bestimmen. Anhand des Vorzeichens des ermittelten Abstands kann zusätzlich entschieden werden, auf welcher Seite der Ebene der Punkt liegt. Hier gilt folgender Zusammenhang:

• : liegt auf der Seite der Ebene, in die der Normalenvektor zeigt
• : liegt auf der anderen Seite der Ebene