Gegeben ist die Funktion mit Definitionsbereich ; die Abbildung 1 zeigt ihren Graphen .
a) Begründen Sie, dass die Gerade mit der Gleichung waagrechte Asymptote von ist. Zeigen Sie rechnerisch, dass streng monoton abnehmend ist.
Für jeden Wert legen die Punkte , , und ein Rechteck mit dem Flächeninhalt fest.
b) Zeichnen Sie dieses Rechteck für in die Abbildung 1 ein. Zeigen Sie, dass für einen bestimmten Wert von maximal ist, und geben Sie den Wert von an.
(zur Kontrolle: )
c) Berechnen Sie den Inhalt des Flächenstücks, das von , der y-Achse sowie den Geraden mit den Gleichungen und begrenzt wird. Einen Teil dieses Flächenstücks nimmt das zu gehörige Rechteck ein. Bestimmen Sie den prozentualen Anteil des Flächeninhalts dieses Rechtecks am Inhalt des Flächenstücks.
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Teilaufgabe a)
Die e-Funktion hat die x-Achse als waagrechte Asymptote. Da sich aus durch Spiegelung an der y-Achse ergibt, ist die x-Achse ebenfalls eine waagrechte Asymptote von .
Der Graph ergibt sich aus dem Graph durch Spiegelung an der y-Achse.
Also gilt: =0 und
Die Funktion ist streng monoton fallend, wenn für alle
Da , ist also . Somit ist streng monoton fallend.
Teilaufgabe b)
Bei dieser Aufgabe gehst du in zwei Schritten vor:
- Zuerst berechnest du die Fläche des Rechtecks R(s) in Abhängigkeit von .
- Dann berechnest du mithilfe der ersten Ableitung, wann R(s) maximal wird.
Das Rechteck mit den gegebenen Punkten hat die Länge und die Höhe
Damit gilt für den Flächeninhalt:
Dieser Wert wird maximal für den Wert von , wenn und an der Stelle einen Vorzeichenwechsel von nach hat.
Berechne nun die Nullstelle von R(s):
Setze R'(s) ein
Umformung: -1
Umformung: \cdot\left(-5\right)
Da der Faktor immer größer als 0 ist, wird das Vorzeichen von bestimmt von dem zweiten Faktor
Der zweite Faktor ist eine fallende Gerade mit dem y-Achsenabschnitt 1 und der Nullstelle .
Also ist für : wachsend.
Und für : fallend.
Damit wird der Inhalt des Rechteckes für maximal. Es gilt:
Teilaufgabe c)
Für den Inhalt des vor beschriebenen Flächenstücks gilt:
Setze f(x) ein
Vereinfache
Ziehe die 7 als Skalar vor das Integral
Integriere
Werte an den Grenzen aus
Damit gilt für den Anteil des Flächenstücks des Rechtecks am Inhalt des Flächenstücks:
Also ist der prozentuale Anteil gerade 58 %.
