Für jeden Wert legen die auf liegenden Punkte und gemeinsam mit dem Punkt ein gleichschenkliges Dreieck fest.
a) Berechnen Sie für den Flächeninhalt des zugehörigen Dreiecks (vgl. Abbildung 3).
Zeigen Sie anschließend, dass der Flächeninhalt des Dreiecks allgemein durch den Term beschrieben werden kann.
b) Zeigen Sie, dass es einen Wert von gibt, für den maximal ist. Berechnen Sie diesen Wert von sowie den Flächeninhalt des zugehörigen Dreiecks .
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Teilaufgabe a)
.
Damit
Die Grundseite g des Dreiecks ist die Strecke .
Somit gilt für die Grundseite
Die Höhe h ist die Strecke zwischen dem Punkt R und der y-Koordinate von .
Somit gilt für die Höhe
Also berechnet sich der Flächeninhalt des Dreiecks zu: .
Im allgemeinen Fall gilt für die Grundseite und für die Höhe
Also .
Für den Flächeninhalt gilt dann:
.
Teilaufgabe b)
Zeige, dass es ein gibt, so dass maximal wird.
Mit Hilfe der 1.Ableitung von sucht man eine Maximumstelle.
.
, da . Das Vorzeichen von wird nur vom Zähler bestimmt. Denn der Nenner ist als Quadrat nicht negativ.
Graphisch dargestellt ist eine nach unten geöffnete Normalparabel um 1 nach oben verschoben.
Somit ändert an der Stelle das Vorzeichen von plus zu minus. Also ist Maximumstelle.
Damit ergibt sich für den maximalen Flächeninhalt: