Nun wird die in definierte Integralfunktion betrachtet; ihr Graph wird mit bezeichnet.
a) Begründen Sie, dass in eine Nullstelle hat, und machen Sie mithilfe des Verlaufs von plausibel, dass im Intervall eine weitere Nullstelle von liegt. Geben Sie an, welche besondere Eigenschaft im Punkt hat, und begründen Sie Ihre Angabe.
b) Die Gerade mit der Gleichung begrenzt gemeinsam mit den Koordinatenachsen ein Dreieck. Geben Sie den Flächeninhalt dieses Dreiecks und den sich daraus ergebenden Näherungswert für an.
c) Die Abbildung 2 zeigt den Graphen sowie den Graphen der in definierten Funktion
.
Beschreiben Sie, wie aus dem Graphen der in definierten Funktion hervorgeht, und berechnen Sie durch Integration von einen weiteren Näherungswert für .
(zur Kontrolle: )
d) Berechnen Sie das arithmetische Mittel der beiden in den Aufgaben 2b und 2c berechneten Näherungswerte. Skizzieren Sie den Graphen von für unter Berücksichtigung der bisherigen Ergebnisse in der Abbildung 1.
Lösung anzeigen
Teilaufgabe a)
hat an der Stelle =0 eine Nullstelle, da untere und obere Grenze des Integrals gleich sind.
Im Intervall liegt eine weitere Nullstelle, wenn man einen Vorzeichenwechsel von in diesem Intervall nachweisen kann.
,
Im Intervall liegt der Graph unterhalb der -Achse. Somit ist der Integrand in diesem Intervall negativ. Damit gilt auch .
Da der Graph in diesem Intervall gut durch eine Gerade mit dem -Achsen Abschnitt und dem -Achsenabschnitt angenähert wird, kann man den Wert von mit abschätzen.
Auf Grund der vorgegebenen Skizze des Graphen kann man
mit etwa abschätzen.
Damit ergibt sich für .
Also hat neben im Intervall eine weitere Nullstelle.
Im Punkt liegt ein Maximum (Hochpunkt) des Graphen .
Begründung: Der Graph stellt die 1. Ableitung von da.
Aus dem Graph liest man ab:
Für gilt: wachsend.
für gilt: fallend.
Teilaufgabe b)
Die Gerade begrenzt mit den Koordinatenachsen ein Dreieck.
Dieses Dreieck ist rechtwinklig mit den Kathetenlängen
Teilaufgabe c)
Im Vergleich zur Grundfunktion ist die Periode von verändert.
Für die Periode von gilt: .
Falls man diese Regel nicht parat hat, so hat man zwei Möglichkeiten:
- Aus dem Graphen kann man ablesen, dass und benachbarte Nullstellen sind. Also wäre
- Oder man erinnert sich, dass die Periode hat. Und allgemein gilt: hat die Periode
Zusätzlich zur Periodenänderung wird der Graph noch an der -Achse gespiegelt.
Näherungswert für :
Teilaufgabe d)
arithmetisches Mittel aus den beiden Näherungswerten:
Die Funktion von hat an der Stelle eine Maximumstelle.
Da die Funktion f, wie in a) gezeigt, achsensymmetrisch ist, ist als Integralfunktion zu punktsymmetrisch, weil, wie in 2a) gezeigt, gilt.
Somit hat an der Stelle eine Minimumstelle.
Es gilt nämlich:
Ist achsensymmetrisch, so ist punktsymmetrisch, falls ist.
Achsensymmetrie: für alle (*)
Punktsymmetrie: für alle
Wir definieren und verwenden die Substitutionsregel:
. Dann ist und es gilt:
und .
Außerdem ist
