Gegeben sind gebrochen-rationale Funktionen der Form .
Ermittle die Funktionsgleichung einer gebrochen-rationale Funktion mit folgenden Eigenschaften.
Der Graph der gesuchten Funktion hat eine waagerechte Asymptote mit der Funktionsgleichung , eine senkrechte Asymptote mit der Gleichung und verläuft durch den Punkt .
Lösung anzeigen
Überlege dir, welche Auswirkungen die Parameter und auf den Graphen der Funktion haben.
Die waagerechte Asymptote hat die Funktionsgleichung . Der Parameter beschreibt die Verschiebung des Graphen der Funktion in positive oder negative y-Richtung. Demnach muss sein. Die Funktionsgleichung sieht somit folgendermaßen aus:
Die senkrechte Asymptote hat die Gleichung . Der Parameter , der die Verschiebung in positive oder negative x-Richtung angibt, muss also den Wert haben:
Setze die Koordinaten des gegebenen Punktes in die Funktionsgleichung von ein und löse nach auf.
Antwort: Der Graph der Funktion hat eine waagerechte Asymptote mit der Funktionsgleichung , eine senkrechte Asymptote mit der Gleichung und geht durch den Punkt .
Die Abbildung ist nicht Teil der Aufgabenstellung. Sie dient nur zur Veranschaulichung.
Der Graph der gesuchten Funktion hat eine waagerechte Asymptote mit der Funktionsgleichung , schneidet die x-Achse im Punkt und schneidet die y-Achse nicht.
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Überlege dir, welche Auswirkungen die Parameter und auf den Graphen der Funktion haben.
Wenn die y-Achse nicht geschnitten werden soll, darf der Graph der Funktion nicht in positive oder negative x-Richtung verschoben werden. Der Parameter , der die Verschiebung in positive oder negative x-Richtung angibt, muss also den Wert haben:
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Die waagerechte Asymptote hat die Funktionsgleichung . Der Parameter beschreibt die Verschiebung des Graphen der Funktion in positive oder negative y-Richtung. Demnach muss sein. Die Funktionsgleichung sieht somit folgendermaßen aus:
Setze die Koordinaten des gegebenen Punktes in die Funktionsgleichung von ein und löse nach auf.
Antwort: Der Graph der Funktion hat eine waagerechte Asymptote mit der Funktionsgleichung , schneidet die y-Achse nicht und geht durch den Punkt .
Die Abbildung ist nicht Teil der Aufgabenstellung. Sie dient nur zur Veranschaulichung.
