Joe trifft beim Torwandschießen bei jedem Schuss mit einer Wahrscheinlich-keit von 20%, Hans mit einer Wahrscheinlichkeit von 30%.
a) Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass Joe beim Torwand-schießen gegen Hans gewinnt, wenn Hans bei seinen sechs Schüssen genau zwei Treffer erzielt hat. Erläutern Sie anhand einer konkreten Spielsituation, dass das dieser Aufgabe zugrunde gelegte mathematische Modell im Allgemeinen nicht der Realität entspricht.
b) Beschreiben Sie im Sachzusammenhang ein Ereignis, dessen Wahrscheinlichkeit durch den Term angegeben wird.
c)Lisa erreichte im Training in 90% aller Fälle bei sechs Schüssen mindestens einen Treffer. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ihr erster Schuss im Wettbewerb ein Treffer ist, wenn man davon ausgeht, dass sich ihre Trefferquote im Vergleich zum Training nicht ändert. Legen Sie Ihrer Berechnung als Modell eine geeignete Bernoulli-kette zugrunde.
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Aufgabenteil a)
Joe trifft bei jedem Schuss mit einer Wahrscheinlichkeit .
Hans trifft bei jedem Schuss mit einer Wahrscheinlichkeit .
Da Hans genau zwei Treffer erzielt hat, gewinnt Joe, wenn er drei oder mehr Treffer erzielt hat.
Sei Joe erzielt mehr als zwei Treffer.
Hans trifft etwa mit jedem dritten Schuss. Also ist es durchaus möglich, dass er zweimal bei sechs Schüssen trifft.
Joe trifft etwa nur bei jedem fünften Schuss.
Aufgabenteil b)
Joe und Hans schießen unabhängig voneinander auf die Torwand.
ist die Wahrscheinlichkeit, dass Joe bei 6 Schüssen auf die Torwand genau Treffer hat.
Analog gilt: ist die Wahrscheinlichkeit, dass Hans bei 6 Schüssen auf die Torwand genau Treffer hat.
Somit ist die Wahrscheinlichkeit, dass Joe und Hans beim Schießen auf die Torwand jeweils gleichviele Treffer haben.
Aufgabenteil c)
Lisa erreicht in 90% aller Fälle bei sechs Schüssen mindestens einen Treffer.
Dann beschreibt die Wahrscheinlichkeit für mindestens einen Treffer. d.h.
: nicht (kein Treffer) d.h. : nicht (nur Nieten).
Die Schüsse sind unabhängig. Somit betrachtet man eine Bernoullikette der Länge mit der Trefferwahrscheinlichkeit .
Somit ist
Also: .
Wegen ist .
Lisa trifft mit der Wahrscheinlichkeit bei jedem und somit auch beim 1. Schuss.