Das Laplace-Gymnasium veranstaltet auf dem Sportplatz ein Fußballturnier für die neuen 5.Klassen.
An dem Turnier nehmen neun Mannschaften teil. Die Mannschaften bestehen jeweils aus Jungen und Mädchen, wobei zwei Drittel aller mitspielenden Kinder männlich sind.
a) Die drei Spielführerinnen und die sechs Spielführer der Fußballmannschaften stellen sich in einer Reihe für ein Foto auf. Bestimmen Sie die Anzahl der Möglichkeiten für die Aufstellung der neun Kinder, wenn die drei Spielführerinnennebeneinanderstehen sollen.
b) Im Rahmen der Begrüßung durch die Schulleiterin werden aus allen Spielerinnen und Spielern zunächst zehn Kinder ausgelost, die je einen Fußball erhalten sollen. Um die Wahrscheinlichkeit dafür zu berechnen, dass fünf Mädchen und fünf Jungen einen Ball erhalten, verwendet Max den Ansatz
Geben Sie an, ob Max dabei vom Modell „Ziehen mit Zurücklegen“ oder vom Modell „Ziehen ohne Zurücklegen“ ausgeht. Begründen Sie rechne-risch unter Zugrundelegung eines im Sachkontext realistischen Zahlen-werts für die Gesamtzahl der Spielerinnen und Spieler, dass die von Max berechnete Wahrscheinlichkeit nur geringfügig von der tatsächlichen Wahrscheinlichkeit abweicht.
Neben dem Fußballturnier werden für die Schülerinnen und Schüler auch ein Elfmeterschießen und ein Torwandschießen angeboten.
Lösung anzeigen
Lösung Teilaufgabe a)
Drei Spielführerinnen und 6 Spielführer stellen sich in einer Reihe auf. Wieviele Aufstellungsmöglichkeiten gibt es, wenn die 3 Spielführerinnen nebeneinander stehen sollen?
Es gibt insgesamt 9 Plätze.
Die Spielführerinnen bilden einen Block. Sie können sich auf Möglichkeiten nebeneinander aufstellen. Dieser Block kann an 7 Stellen in der Reihe eingefügt werden. Der Block kann die Plätze 1 bis 3, oder 2 bis 4, oder... 7 bis 9 belegen.
Wenn die Mädchen sich aufgestellt haben, so können die 6 Jungen sich auf Arten auf die übrigen Plätze verteilen.
Insgesamt gibt es also
Möglichkeiten.
Lösung Teilaufgabe b)
Wenn man aus den 99 Kindern 5 Mädchen und 5 Jungen auswählen will, so muss man das Modell "Ziehen ohne Zurücklegen" anwenden, um die Wahrscheinlichkeit für dieses Ereignis A zu berechnen.
Max verwendet das Modell "Ziehen mit Zurücklegen", denn er benutzt die Bernoullikette und diese beruht auf dem Modell "Ziehen mit Zurücklegen".
Korrekterweise gilt für die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses A:
ist somit als ein Produkt aus drei Faktoren dargestellt.
Für den letzten Faktor gilt: .
Der erste und der zweite Faktor sind jeweils Quotienten, deren Zähler und Nenner aus 5 Faktoren bestehen.
Dann schreibt sich
Die ersten 5 Faktoren haben jeweils in etwa den Wert von und die letzten 5 Faktoren haben jeweils in etwa den Wert von .
Somit weicht der vom Max errechnete Wert nur geringfügig vom tatsächlichen Wert ab.