Die Zufallsgröße kann die Werte 0, 1, 2, 3 und 4 annehmen. Die Tabelle zeigt die Wahrscheinlichkeitsverteilung von Y mit .
a) Beschreiben Sie, woran man unmittelbar erkennen kann, dass der Erwartungswert von gleich 2 ist .
Die Varianz von ist gleich .
b) Bestimmen Sie die Werte von und .
c) Die Zufallsgröße , die für eine Laplace-Münze die Anzahl des Auftretens von „Zahl“ bei viermaligem Werfen beschreibt, hat ebenfalls den Erwartungswert 2 und es gilt analog . Berechnen Sie die Varianz von , vergleichen Sie diese mit der Varianz von und beschreiben Sie davon ausgehend einen qualitativen Unterschied der Wahrscheinlichkeitsverteilungen von und .
Lösung anzeigen
Teilaufgabe a)
Da die Verteilung symmetrisch zu 2 ist, ist 2 als Mittelwert auch der Erwartungswert.
Teilaufgabe b)
Die Varianz ist
Mit und erhältst du
Da die Gesamtwahrscheinlichkeit sein muss, ist , also .
Jetzt hast du zwei Gleichungen für und :
Wenn du die zweite Gleichung von der ersten subtrahierst, erhältst du , also . Aus der zweiten Gleichung erhältst du dann .
Die Wahrscheinlichkeitsverteilung ist also
Teilaufgabe c)
Das viermalige Werfen einer Münze entspricht einer Bernoulli-Kette der Länge vier. Da die Wahrscheinlichkeit für "Zahl" ist, ist die Wahrscheinlichkeit für Treffer durch gegeben.
Man berechnet
Die Wahrscheinlichkeitsverteilung ist also
Die Varianz berechnet sich durch
Dies bedeutet, dass sich die Werte diesmal näher am Erwartungswert 2 befinden, da die Varianz (und damit auch die Standardabweichung) kleiner ist.