Ein Telekommunikationsunternehmen möchte neue Kunden gewinnen. Dazu schickt es an zufällig ausgewählte Haushalte Werbematerial. Im Folgenden soll davon ausgegangen werden, dass die angeschriebenen Haushalte unabhängig voneinander mit einer Wahrscheinlichkeit von jeweils 20% noch nicht über einen schnellen Internetanschluss verfügen.
a) Ermitteln Sie jeweils die Wahrscheinlichkeit dafür, dass unter 10 angeschriebenen Haushalten
• mindestens zwei noch nicht über einen schnellen Internetanschluss verfügen.
• genau acht bereits über einen schnellen Internetanschluss verfügen.
b) Beschreiben Sie im Sachzusammenhang ein Ereignis, dessen Wahrscheinlichkeit durch den Term angegeben wird.
c) Ermitteln Sie, wie viele Haushalte das Unternehmen mindestens anschreiben müsste, damit mit einer Wahrscheinlichkeit von mehr als 99% wenigstens ein angeschriebener Haushalt, der noch nicht über einen schnellen Internetanschluss verfügt, einen solchen einrichten lassen würde. Gehen Sie dabei davon aus, dass sich jeder hundertste angeschriebene Haushalt, der noch nicht über einen schnellen Internetanschluss verfügt, dafür entscheidet, einen solchen einrichten zu lassen.
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Teilaufgabe a)
Da die Ereignisse "noch kein schnelles Internet zu haben" unabhängig sind, ist das Experiment als ein Bernoulliexperiment zu betrachten.
Für die Trefferwahrscheinlichkeit gilt: .
Die Länge der Bernoullikette ist .
mindestens zwei Treffer ist gleichbedeutend mit dem Gegenereignis von kein oder genau 1 Treffer.
.
genau 8 verfügen bereits über schnellen Internetanschluss
Für die Trefferwahrscheinlichkeit gilt
.
Teilaufgabe b)
Welches Ereignis hat die Wahrscheinlichkeit ?
bedeutet die Wahrscheinlichkeit für genau 10 Treffer.
bedeutet die Wahrscheinlichkeit für genau 10 Nieten.
In dem Sachzusammenhang der Aufgabe bedeutet somit
ist dann die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis D:
"von 10 Haushalten hat entweder keiner oder alle schnelles Internet."
Teilaufgabe c)
Wie viele Haushalte muss man mindestens befragen, damit wenigstens ein Haushalt einen schnellen Internetanschluss haben möchte.
wenigstens ein Haushalt möchte schnelles Internet.
Das Gegenereignis ist: kein Haushalt möchte schnelles Internet.
Das Experiment ist ein Bernoulliexperiment der Länge , mit der Trefferwahrscheinlichkeit
Nun soll gelten:
Man muss wenigstens 459 Haushalte befragen.
Anmerkung:
Bei der Lösung gehen wir davon aus, dass das Unternehmen nur Haushalte befragt, die noch kein schnelles Internet haben. Wenn beliebige Haushalte befragt werden, ändert sich die Trefferwahrscheinlichkeit auf .
Eine analoge Rechnung ergibt dann , also .