Gegeben ist die in definierte Funktion : . Ihr Graph wird mit bezeichnet.
a) Geben Sie die Nullstellen von an und begründen Sie anhand des Funktionsterms, dass die Gerade mit der Gleichung als waagrechte Asymptote besitzt.
b) Berechnen Sie die -Koordinate des Schnittpunkts von mit der waagrechten Asymptote.
Lösung anzeigen
Teilaufgabe a)
Eine gebrochen rationale Funktion hat dort eine Nullstelle wo der Zähler Null wird.
Bei der vorgelegten Funktion ist der Nenner für alle reellen positiv. Somit ist für alle reellen definiert.
=0
Die vorgelegte Funktion ist eine gebrochen rationale Funktion, wobei Zählergrad gleich Nennergrad ist. Somit ist die zur -Achse parallele Gerade Asymptote.
Zur Begründung: Dividiert man Zähler und Nenner durch die höchste Potenz von und erhält:
. Betrachtet man nun den Funktionsterm für unbegrenzt wachsendes bzw. fallendes , so streben die Bruchterme gegen Null und die Funktion strebt gegen .
Teilaufgabe b)