Ein Glücksrad besteht aus zwei unterschiedlich großen Sektoren. Der größere Sektor ist mit der Zahl und der kleinere mit der Zahl beschriftet. Die Wahrscheinlichkeit dafür, beim einmaligen Drehen des Glückrads die Zahl zu erzielen, wird mit bezeichnet. Das Glücksrad wird zweimal gedreht.
a) Begründen Sie, dass die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Summe der beiden erzielten Zahlen ist, durch den Term angegeben wird.
b) Die Zufallsgröße beschreibt die Summe der beiden erzielten Zahlen. Bestimmen Sie, für welchen Wert von die Zufallsgröße X den Erwartungswert hat.
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Teilaufgabe a)
Das Glücksrad wird zweimal gedreht. Damit hat man ein zweistufiges Zufallsexperiment. Bei jeder Stufe gilt:
und ,
da die Ereignisse der 1. Drehung und der 2. Drehung unabhängig sind.
Damit die Summe der erzielten Zahlen den Wert 4 ergibt, muss entweder beim1. Drehen die Zahl und beim 2. Drehen die Zahl oder beim 1. Drehen die Zahl und beim 2. Drehen die Zahl erzielt werden.
Teilaufgabe b)
Beim zweimalige drehen sind die Summen
möglich.
Es gilt
Somit gilt für den Erwartungswert: